Algebra
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Ответ: (−2, 1] ∪ (2, +∞). Раскрываем модуль в точке x = 2, строим таблицу знаков и разбираем, почему x = 1 входит в ответ, а точки ±2 — нет.
Ответ: x ≤ −9/2, то есть промежуток (−∞; −9/2]. Разбиваем цепочку на два неравенства, следим, как сокращаются члены с x², и пересекаем решения.
a³ + b³ всегда не меньше a²b + ab², а равенство возможно только при a = b: разность раскладывается в (a + b)(a − b)² — произведение неотрицательных множителей.
Действительное решение: x = −33. Возводим обе части в куб, чтобы убрать показатель 1/3, решаем 2x + 2 = −64 и объясняем, почему посторонних корней здесь нет.
Множество решений: (−∞; −2) ∪ (1; 3). Находим три корня, разбиваем ими числовую прямую и по таблице знаков определяем знак произведения на каждом промежутке.
Ответ: f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900. Разбираем, как каждый корень превращается в множитель, а старший коэффициент задаёт масштаб.
Сумма корней равна 10. Вычитаем линейную закономерность 4x − 3, раскладываем разность как a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) и применяем формулы Виета — постоянная a сокращается.
Разностное отношение упрощается до 2x + h − 5. Пошагово раскрываем f(x + h), вычитаем f(x), выносим h за скобку в числителе и сокращаем на него.
Область определения: (−∞; 5) ∪ (5; 9) ∪ (9; ∞). Многоэтажная дробь скрывает сразу два ограничения — внутренний знаменатель и внешний; разбираем оба.
Ответ: ((3−√17)/2; 0) ∪ ((3+√17)/2; +∞). Приводим обе части к одному основанию, меняем знак неравенства, так как 2/5 < 1, и применяем метод интервалов.
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²), x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²), x³+512=(x+8)(x²−8x+64). Учимся видеть два куба и без ошибок расставлять знаки в формулах.
Ответ: ab = −1/4 при a = −1/2 и b = 1/2. Решения лежат между корнями, значит a < 0, а свободный член 1 однозначно определяет масштабный множитель.
Ответ: 5/4. Делим, чтобы выделить сопряжённое к z − 1, избавляемся от мнимости в знаменателе, сопрягаем обе части и находим |z|² = a² + b².
x = 6. Если y = 2x² − 21x + 64 и y = 3x + a пересекаются ровно один раз, квадратное уравнение имеет двойной корень: x = 24/4 = 6 и a = −8.
У уравнения единственный корень x = −3, поэтому сумма корней равна −3. Переход к новому основанию превращает частное логарифмов в один логарифм.
Решение: x ≤ −5/2, x = 0 или 1/6 ≤ x < 1/2. Разбираем случаи по знаку x, делим на x (меняя знак при x < 0) и учитываем убывание логарифма по основанию 1/3.
Доказательство: если квадратная матрица перестановочна со всеми матрицами того же размера, она равна λI. Матричные единицы E_ij обнуляют внедиагональные элементы.
Нужно взять 10 л 20%-го раствора и 10 л 50%-го — получится 20 л с концентрацией 35%. Составляем уравнения по объёму и по чистому спирту и решаем систему.
Разность упрощается до 12a²b² − 5ab⁵ — это двучлен шестой степени. Разбираем, почему члены a³b уничтожаются и как степень получается сложением показателей.
Пропущенный элемент частного A = −3, поэтому частное равно x − 3, а остаток 0. Разбираем по шагам, как заполняется каждая ячейка таблицы деления многочленов.
Корни: x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 и x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303. Разбиваем прямую точкой x = 3, решаем на каждой ветви квадратное уравнение и отбираем подходящие корни.
Ответ: 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3. Корни дают f(x) = a(x + 1)(x − 5), минимум −18 в вершине x = 2 даёт a = 2, после чего решаем 2x² − 8x − 10 ≤ 6.
Действительные решения: x = −12 и x = −13. Замена u = x + 4 сводит уравнение к u² + 17u + 72 = 0 — раскладываем на множители и возвращаемся к x.
Наибольшее возможное значение n равно 14. Из f(x) = a(x − 1)(x + 7) следует b = 6a, поэтому a + b = 7a, а наименьшее допустимое целое a = 2 даёт 14.
Ответ: 7/4 < k < 13/6. Условия знаков f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0, f(3) > 0 задают параметр, а произведение корней даёт проверку.
Ответ: (2√7 − 2√2) / 5. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое √7 − √2, и разность квадратов убирает оба корня сразу.
Остаток равен 26x − 47. Если f(x) при делении на 2x² − 3x + 4 даёт остаток 2x + 1, достаточно возвести его в куб и понизить степени по правилу x² = (3x − 4)/2.
По теореме Безу остаток равен −1: делим x³ − 2 на x − 1 в одно действие, без деления уголком. Разбираем, почему остаток — число, а не многочлен.
Скорость туда 50 км/ч, обратно 60 км/ч. Переводим 4 ч 24 мин в 4,4 ч, выражаем оба времени как путь делить на скорость и решаем 220/v = 4,4.
Ответ: 3037. Характеристическое уравнение (r − 2)² = 0 даёт a_n = (A + Bn)2^n, откуда a_2025 = 6 149 925 · 2^2025 и b/c = 6 149 925/2025 = 3037.
19-й член равен 91,66672, значит его целая часть — 91. Разности делятся пополам и меняют знак, а предел равен (a1 + 2a2)/3 = 275/3, а не 2a2 − a1.
Ответ: m⁸ / (256 n⁴⁴). Сначала делим внутри скобки и получаем −4m⁻²n¹¹, затем возводим каждый множитель в степень −4; чётная степень делает знак положительным.
Всё выражение сворачивается в a⁴b. Выносим ab за скобку, применяем формулу суммы кубов, раскрываем скобки — и слагаемые с ab⁴ взаимно уничтожаются.
Всё выражение сворачивается просто в a. Приводим каждую скобку к знаменателю a+b, переворачиваем вторую из-за степени −1, сокращаем и вычитаем оставшееся 3b.
Ответ: 17. Вносим двойку под логарифм, снимаем log по основанию 5 > 1, слагаемые с x сокращаются, остаётся 28 < 7√x, откуда x > 16.
Четыре корня: x = −1, 3/2, 2 − √3 и 2 + √3. Раскладываем многочлен на множители по теореме о рациональных корнях и схеме Горнера, затем решаем квадратное уравнение.
Сумма корней равна −3. Область определения x ≥ −5 отбрасывает x = −6, а сам множитель с радикалом даёт ещё один корень x = −5, поэтому корни — это 2 и −5.
После избавления от иррациональности x = 2 + √3, y = 2 − √3, поэтому x + y = 4, xy = 1, а симметрические тождества дают x² + y² = 14, x³ + y³ = 52, а также 63.
По одной розе каждого цвета стоят 6.00. Две белые и одна жёлтая — 5, две белые и три красные — 10.50, три жёлтые и две красные — 11; решаем подстановкой.