Algebra
Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения
Real algebra questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Отобразим W₂ в сопряжённое к W₁ по правилу x ↦ ⟨x, ·⟩. Размерность образа не больше dim W₁, поэтому по теореме о ранге и дефекте ядро W₂ ∩ W₁⊥ имеет размерность не меньше dim W₂ − dim W₁ ≥ 1.
Решений нет вовсе. После упрощения правой части получаем |x| = −5, а модуль — это расстояние до нуля, поэтому он никогда не равен отрицательному числу.
Единственное решение — x = −5/2. Когда модуль равен нулю, разбиения на случаи не происходит: ноль — единственное число, расстояние которого до нуля равно нулю.
Решения: x = 0 и x = 10/3. Так как |A| = 5 означает A = 5 или A = −5, одно уравнение с модулем превращается в два обычных линейных уравнения.
Два решения: x = −2/3 и x = −2. Модуль, равный положительному числу, даёт два случая — 3x + 4 = 2 и 3x + 4 = −2, каждый решается в одно действие.
Решения: x = −1/4 и x = −5/4. Разбейте |4x + 3| = 2 на случаи 4x + 3 = 2 и 4x + 3 = −2, затем решите каждое линейное уравнение по отдельности.
Решения: x = 0 и x = 10. Разбейте уравнение на 5 − x = 5 и 5 − x = −5; именно отрицательный коэффициент при x даёт во втором случае x = 10.
Решения: x = 3.4 и x = −3.4. Знак минус под модулем ничего не меняет, потому что число и противоположное ему удалены от нуля на одно и то же расстояние.
Решения: x = 5 и x = 3/23. Вынесите константы из-под модуля, приведите к виду 8|2x − 3| = 7|x + 3| и возведите в квадрат — получится 23x² − 118x + 15 = 0.
Решения: x = −1 и x = 2. Разбиение в точках x = 0 и x = 1 даёт три случая; средний сводится к равенству 1 = 3 и решений не имеет.
Корней четыре: x = ±4 и x = ±√10. Модуль вокруг квадратного выражения распадается на x² − 13 = 3 и x² − 13 = −3, каждое из которых даёт два корня.
Ответ: −1 ≤ x ≤ 2. Модуль, не превосходящий числа, превращается в одно двойное неравенство −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3, которое решается прибавлением 1 и делением на 2.
Ответ: −9 < x < 4. Модуль, меньший числа, даёт одно двойное неравенство −13 < 2x + 5 < 13, которое решается вычитанием 5 и делением на 2.
Ответ: w ≤ 40/7 или w ≥ 44/7. Сначала разделите на 7; модуль со знаком «не меньше» распадается на два луча наружу, а не на один промежуток.
Ответ: w ≤ 3 или w ≥ 9. Разделите на 7 и получите |w − 6| ≥ 3, что читается так: w удалено от 6 не меньше чем на 3 в любую сторону.
Ответ: a < −1 или a > 1/3. Когда модули стоят с обеих сторон, возведение в квадрат обратимо и сводит задачу к квадратному неравенству 3a² + 2a − 1 > 0.
Ответ: m < −9 или m > 9. Выделите |3m|, разделите на −2 с переворотом знака и получите |3m| > 27, затем разбейте неравенство на две ветви наружу.
Решение — все действительные числа. После деления на −2 неравенство принимает вид |3m| > −24, а модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому оно верно всегда.
Ответ: x ≤ (11 − √97)/4 или x ≥ 5, то есть примерно x ≤ 0.288 или x ≥ 5. Точки перелома 2, 3 и 4 дают четыре случая, решения есть только в двух крайних.
Ответ: 4/3 ≤ x ≤ 2. Переменную правую часть сначала надо заставить быть неотрицательной, а затем решить двойное неравенство −(x−1) ≤ 2x−3 ≤ x−1.
Ответ: x < −2, x = 1 или x > 2. Числитель никогда не отрицателен, поэтому знак дроби задаёт знаменатель, а при x = 1 вся дробь обращается ровно в ноль.
Ответ: (−2, 1] ∪ (2, +∞). Раскрываем модуль в точке x = 2, строим таблицу знаков и разбираем, почему x = 1 входит в ответ, а точки ±2 — нет.
Ответ: √2, примерно 1.414214. Сложение подобных слагаемых даёт 2/√2, а умножение на √2/√2 сокращает двойку и оставляет ровно √2.
Сумма равна 7 корням пятой степени из 4. Показатель корня и подкоренное выражение у слагаемых уже совпадают, поэтому складываются только коэффициенты 2 и 5.
Сумма равна 37 корням из 2. Упростите √50 до 5√2 и √32 до 4√2, после чего сложите получившиеся коэффициенты 25 и 12.
Результат — 7x² − 7x + 9, степень 2. Сначала раскройте минус перед третьей скобкой, затем соберите отдельно члены с x², с x и свободные члены.
Сумма равна −x³ + 8x² − 15x − 4, её степень 3. Складываются коэффициенты при одинаковых степенях; кубические члены не сокращаются, поэтому степень остаётся 3.
Сумма равна −4x² − 11x + 13. Разбираем, как выстроить подобные члены по степеням, почему одинокое −11x переходит в ответ без изменений и как проверить результат при x = 1.
(f + g)(x) = 6x − 4, область определения — все действительные числа. Сложите члены с x: 5x + x = 6x и свободные: 2 − 6 = −4, затем укажите область определения.
(f + g)(x) = 4x − 58, область определения — все действительные числа. Члены с x² противоположны и сокращаются, поэтому сумма двух квадратичных функций получается линейной.
Сумма равна √10. Возведение в квадрат даёт 6 + 2√(9−5) = 10, а так как оба корня положительны, сумма равна положительному корню, а не −√10.
Ответ: 6x² + yz. Скобки раскрываются без смены знаков, потому что группы складываются, а не вычитаются, и два члена с z² полностью сокращаются.
Сумма равна 2(x² − 8x + 32) / (x(x − 8)). Приведение к знаменателю x(x − 8) даёт x² + (x − 8)², что после раскрытия и вынесения двойки даёт 2(x² − 8x + 32).
Сумма равна (x²+13x+10)/(2(x−1)(x+2)). Разложите 2x−2 на 2(x−1) и x²+x−2 на (x+2)(x−1), найдите общий знаменатель и приведите к нему оба числителя.
Было продано 108 взрослых и 48 детских билетов, взрослых стало 128. Запись количеств как 9k и 4k оставляет одну неизвестную, а 3(9k + 20) = 8(4k) даёт k = 12.
Старший брат — 25 3/5 года. Обозначьте младший возраст за x, составьте 8x + 8 = 3(x + 8), решите 5x = 16, затем умножьте обратно и найдите старший возраст.
Ответ: старший брат — 128/5 = 25.6 года, младший — 16/5 = 3.2. Обозначив младший возраст за x, получаем 8x + 8 = 3(x + 8), откуда 5x = 16.
Ребёнку 18 лет, отцу 72. Уравнение 4x − 12 = 10(x − 12) даёт x = 18, а двенадцать лет назад возрасты были 6 и 60 — отношение ровно 10.
Старшему 25 лет, младшему 5. Из 5a + 5 = 3(a + 5) получаем 2a = 10; оба становятся старше на одни и те же 5 лет — именно поэтому отношение падает.
Мне 20, маме 60. Вычитая 10 из обоих возрастов, получаем 3x − 10 = 5(x − 10), откуда x = 20; десять лет назад возрасты были 10 и 50 — отношение 5.
Возрасты равны 88/3 и 50/3 года, то есть примерно 29.33 и 16.67. Два условия дают два уравнения, а подстановка сводит их к 3D − 4 = 46.
Площадь равна 140 м². Если ширина x, длина x+4, решая 2(x+4+x)=48, получаем x=10, стороны 10 м и 14 м.
Площадь прямоугольника равна 160 м². Ширина 10 м, длина 16 м. Решение через уравнение для периметра: 2(x + (x+6)) = 52.
Разность d = 11/3, если u₁ = 1/3 и u₈ = 26. Проверка: u₈ = 1/3 + 7·(11/3) = 26, всё сходится.
Разность d = 3, так как u₄ = 10 и u₄ + u₆ = 26. Проверка: u₆ = 16, разность 3, первый член 1.
Из u_4-u_2=2d получаем d=2 и u_1=1. Тогда u₁₅=1+14·2=29. Пятнадцатый член — 29, а не 31.
Пятый член арифметической прогрессии с u_1=3 и d=2 равен u_5=11. Проверка по формуле и перечислением членов подтверждает ответ.
Ответ: C = 30 + 0,05t + 0,10x; при равном количестве минут и SMS выгоднее больше говорить, чем писать. Примеры: 40,00; 38,80; 41,25; 43,50; 42,50 долларов.
Ответ: x ≤ −9/2, то есть промежуток (−∞; −9/2]. Разбиваем цепочку на два неравенства, следим, как сокращаются члены с x², и пересекаем решения.
log₁₀ 1576 / log₁₀ 2.44 = log₂.₄₄ 1576 ≈ 8.2541. Проверка: 2.44⁸.²⁵⁴¹ ≈ 1576, значит ответ верный.
Ответ: равны только два последних. Первое сводится к 0.015S − 0.955, а второе и третье — к 0.0138462S − 0.789231; совпадают они лишь при S = 431/3.
В коллекции 30 монет по 5 и 30 монет по 10. Подставляя 60 - x вместо второго количества, получаем уравнение 5x + 10(60 - x) = 450.
В коллекции 30 монет по 5 и 50 монет по 10. Это следует из уравнения 5x + 10(80 - x) = 650, объединяющего оба условия задачи.
Выражение (2x+1)²+2(2x+1)+1 приводится к 4(x+1)² — это полный квадрат. Используем тождество A²+2A+1, где A=2x+1, и выносим общий множитель.
Верный ответ — x. Складываем коэффициенты: 4 + 2 - 5 = 1, а коэффициент 1 перед переменной не пишется.
Ответ: −9xy². Все слагаемые имеют одинаковую буквенную часть xy², поэтому складываются только коэффициенты: 6−3−12=−9, а xy² остаётся без изменений.
Результат упрощения 9x - 14x + 6x — это x. Все коэффициенты складываются: 9 - 14 + 6 = 1, а коэффициент 1 не записывается.
Ответ: 2x² + 7x − 7. Приводим подобные: 3x² − x² = 2x², 2x + 5x = 7x, −7 — отдельный свободный член.
Ответ: −x⁵ − 15x⁴ − 6x + 1. Подобные слагаемые -10x^3 и +10x^3 взаимно уничтожаются, поэтому кубический член исчезает.
Ответ: x = -12/5. Приводим подобные, получаем -5x = 12, делим на -5 и находим x = -12/5.
−12xy + 9xy − 3xy = −6xy. Все три слагаемых — подобные, складываются только коэффициенты: −12 + 9 − 3 = −6, а xy остаётся.
Ответ: x ≈ 0,0011432627. Все три слагаемых подобны, их коэффициенты складываются в 87 000 451,12, после чего деление даёт окончательный результат.
Если a < b, то 3 − 2a > 3 − 2b, и наоборот. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Если a < b, то 4a − 3 < 4b − 3. Умножение на положительное число и вычитание сохраняют неравенство, направление не меняется.
a³ + b³ всегда не меньше a²b + ab², а равенство возможно только при a = b: разность раскладывается в (a + b)(a − b)² — произведение неотрицательных множителей.
Начальные значения обеих функций равны −1. У H угловой коэффициент 1/2, через (8, 3), значит, при x = 0 тоже будет −1, как у G. Келли не права.
Ответ: 3(x−2/3)²+2/3, минимум 2/3. Дискриминант −8, корни: (2±i√2)/3 — действительных корней нет.
x²-2x+3 приводится к (x-1)²+2, минимум — 2 при x=1. Дискриминант -8, поэтому квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней.
Ответ: вещественных корней нет; x = -0,19717 ± 0,13382i. Переносим -0,2, получаем 4,3957x² + 1,7334x + 0,2496 = 0, дискриминант отрицателен: -1,38399.
Вычислены композиции: (g∘f)(x)=128x²−456x+403, (h∘f)(2)=11, (f∘h)(x)=16x³+36x−15. Внутренняя функция подставляется вместо переменной внешней.
Решение: −3 < x ≤ −2, или (−3; −2]. Для этого из всех частей неравенства вычитается 4, чтобы изолировать x.
Ответ: 1/6 < x < 17/60. Все преобразования — умножение на 7, деление на 60, вычитание 1 — не меняют знаки неравенств, так как положительны.
Решение: 17/60 < x < 2/5. Домножаем все части на 7, делим на 60, затем вычитаем 1 — знаки не меняются, так как множители положительные.
Ответ: 8 < y ≤ 16. Сначала прибавим 8 ко всем частям, затем разделим на 3. Знаки неравенств не меняются, так как 3 положительно.
Ответ: x > 7/5. Переменная стоит в обеих внешних частях, поэтому цепочку разбивают на два неравенства и пересекают их решения.
Решение: −11/60 < x < −1/15. Оба конца промежутка отрицательны, так как 60/7 ≈ 8,57, и 1 + x должно быть меньше 1, чтобы попасть в (7, 8).
Решений нет: ни одно число не может быть одновременно больше 8 и меньше 7. Алгебра подтверждает — промежуток пуст.
Ответ: −1/15 < x < 1/20. Промежуток захватывает ноль: при x = 0 середина равна 60/7 ≈ 8,57 и уже лежит внутри окна (8; 9). Умножаем на 7, делим на 60, вычитаем 1.
Решений нет: после упрощения 4018−2734 до 1284 цепочка требует 3818≤499x−20y<1284 и 1284≤33x−78y<−2534, что невозможно.
Решение: −1 ≤ x ≤ 3. Сначала ко всем частям прибавляется 1, затем обе стороны делятся на 3. Оба конца включены, так как неравенства нестрогие.
Решение: 15/2 < x ≤ 21/2, то есть (7,5; 10,5]. Домножаем на 12, складываем 13, делим на 2 — вид концов сохраняется.
A = x⁵(x−1)⁵/(x²+1)⁴. Коэффициенты логарифмов переходят в показатели, отрицательный — в знаменатель.
Ответ: 7 целых чисел (−4, −3, −2, −1, 2, 3, 4). Раскладываем на множители, строим таблицу знаков, учитываем точки разрыва.
Ответ: 15 классов подобия. Над ℂ жорданова форма полностью определяет класс, и число классов равно p(3)·p(4)=15 — по парам разбиений 3 и 4.
Ответ: x = -59/3. Кубический корень определён при любом x, посторонних корней нет. Поднимаем обе части в куб: 5-3x=64, отсюда x=-59/3.
Действительное решение: x = −33. Возводим обе части в куб, чтобы убрать показатель 1/3, решаем 2x + 2 = −64 и объясняем, почему посторонних корней здесь нет.
Три действительных корня: x ≈ −7.4802e−8, 0.00106167 и 0.00814390. Масштабирование x на 10³ делает кубическое уравнение численно устойчивым.
Ответ: x = 1 и x = (3 ± √21)/2, примерно 3,7913 и –0,7913. Ключ — заметить, что √214221 = 101√21, и радикал упрощается полностью.
Уравнение 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0 имеет один вещественный корень s ≈ −3,086 и пару комплексных −6,707 ± 1,902i. Рациональных корней нет.
Ответ: x ≈ 1,3210837 — единственный действительный корень. Дискриминант отрицателен, рациональных корней нет, по формуле Кардано — один действительный корень.
Ответ: x = –24.8617, –2.4502 и 2.2304. Проверка по Виету: сумма корней –25.0815, произведение 135.87.
Уравнение 49 − 112x + 21x² − x³ = 0 имеет три действительных иррациональных корня: x ≈ 0,4797; 8,4956; 12,0248. Решение — тригонометрическая формула.
Множество решений: (−∞; −2) ∪ (1; 3). Находим три корня, разбиваем ими числовую прямую и по таблице знаков определяем знак произведения на каждом промежутке.
Решение: (−∞; −1) ∪ (−1; 2). Преобразуем неравенство к (x+1)²(x²−x+1)(x−2) < 0, отрицательным может быть только x−2, x=−1 исключается.
Решение: x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, 4). Три простых корня делят числовую прямую на четыре промежутка с чередующимися знаками, строгий знак исключает сами корни.
Ответ: f(x) = 5(x + 3)(x − 6)(x − 10) = 5x³ − 65x² + 60x + 900. Разбираем, как каждый корень превращается в множитель, а старший коэффициент задаёт масштаб.
Единственный действительный корень: x ≈ 0,00548128. Уравнение сводится к сдвинутому кубу, где 0,016875 = 3·0,005625 и 0,000094921875 = 3·(0,005625)².
Ответ: x = -6. Кубическое уравнение почти совпадает с (x+4)³, но отличается на 8. Решение: x+4 = -2, значит x = -6.
Корни: x ≈ −1,228936; 1,348310; 13,880626. Проверка по Виету: сумма попарных произведений равна нулю, что строго ограничивает ответ.
Уравнение x³−245,711x²+2,764156x+0,074296=0 имеет корни −0,012650903, 0,023902272 и 245,699748632. Два малых корня найдены через отброшенный x³.
Корни уравнения: x = −0,014681475; 0,025933162; 245,699748313. Два малых корня находятся через отбрасывание x³, большой — через сумму корней.
Уравнение x³−245,711x²+2,764156x+0,115212=0 имеет корни −0,016747308, 0,027999354 и 245,699747954. Два малых корня находятся через квадратное, большой — по сумме корней.
Уравнение x³−245,711x²+2,764156x+0,138128=0 имеет корни: −0,018742545, 0,029994971 и 245,699747574. Два малых корня находятся через отброс x³.
Единственный действительный корень уравнения x³ − 3x² + 3x − 2 = 0 — это x = 2. Кубическое выражается как (x − 1)³ − 1, значит, (x − 1)³ = 1.
Корни: x ≈ −15,22; 11,27; 62,95. Рациональных корней нет, уравнение решается только численно — через локализацию и метод Ньютона.
Уравнение x³ − 6x² + 11x − 6 = 1 имеет единственный действительный корень x = 2 + ρ ≈ 3,3247, где ρ — пластическое число.
Единственный действительный корень: x ≈ −28,39, комплексная пара: −5,80 ± 6,06i. Приведение к y³ − 400y/3 + 38000/27, дискриминант положителен.
Велосипедист проехал 30 км за 1,5 часа при скорости 20 км/ч. Решение уравнения v^2 + 40v - 1200 = 0 даёт положительный корень v = 20.
Сумма корней равна 10. Вычитаем линейную закономерность 4x − 3, раскладываем разность как a(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) и применяем формулы Виета — постоянная a сокращается.
Уравнение не имеет действительных решений: P(x) = (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)^2 + 1 ≥ 1 для всех x. Минимум достигается при $x ≈ 0,606$ и равен примерно 1,45.
Ответ: a = (√5−1)c/4. Корень √(6−2√5) раскрывается как √5−1, так как 6−2√5 — это точный квадрат этой разности.
Вложенный корень √(11 − √120) равен √6 − √5 ≈ 0,2134. Подставим m + n = 11 и mn = 30, получаем точное выражение.
Решение — неограниченная область с угловой точкой (2,4), ограниченная слева прямой x = 2 и сверху прямой y = 6 − x. Выразив y из каждого неравенства, легко заштриховать пересечение.
Определитель равен −16. Разложение по первой строке: 9(32−40) − 2(112−144) + 2(140−144) = −72 + 64 − 8 = −16. Замена строки 27,7,7 на 28,8,8 меняет ответ с −9 на −16.
Определитель равен −9. Разложение по первой строке: 9(28−35) − 2(108−126) + 2(135−126) = −63 + 36 + 18 = −9. Проверка преобразованием столбцов.
Определитель равен 9. Вычитая кратные третьей строки, обнуляем первый столбец до единственного элемента 9, раскладываем по этому столбцу и считаем определитель 3×3, равный 1.
Определитель равен −46. Два круга преобразований строк оставляют в первом столбце единственную единицу в левом верхнем углу, после чего остаётся определитель 3×3, равный −46.
Ответ: 8x. Вместо раскрытия обоих квадратов применяем A² − B² = (A − B)(A + B) при A = 2x+1 и B = 2x−1, и квадратичные слагаемые вообще не появляются.
4(x + 3)(x − 3) = 4(x² − 9) = 4x² − 36. Скобки образуют сопряжённую пару, поэтому формула a² − b² сворачивает их за один шаг вместо полного раскрытия.
Выражение сворачивается в −16a(a²+2)(a²+8)/(a²−4)². Узнав в числителях сомножители a³+8 и a³−8, каждую дробь удаётся свести к одной перед вычитанием.
Ответ: (2x + 3m)(2x − m)/48. Оба слагаемых уже полные квадраты, поэтому формула a² − b² применяется сразу при a = x/3 и b = (2x/3 − m)/4, то есть x/6 − m/4.
Ответ: 8xy. Разложение по формуле разности квадратов даёт множители 4y и 2x, поэтому все квадратичные слагаемые уничтожаются ещё до раскрытия скобок.
Каждый блок из 20 слагаемых — полный куб, поэтому разность имеет вид A³ − B³ с A − B = (c − e)(y − b). Узнав куб, сорок слагаемых сворачиваем в три множителя.
Ответ: 0. Каждая дробь сокращается до −(3a + 2), потому что перевёрнутые знаменатели дают множитель −1, и разность тождественно обращается в ноль.
Разностное отношение равно 10x + 5h − 3. При раскрытии f(x+h) уничтожаются все слагаемые без h, поэтому h в знаменателе сокращается без остатка.
Результат: −21/((3x+3h−1)(3x−1)). Приведение двух дробей к общему знаменателю сворачивает числитель до −21h, после чего h сокращается.
Разностное отношение упрощается до 2x + h − 5. Пошагово раскрываем f(x + h), вычитаем f(x), выносим h за скобку в числителе и сокращаем на него.
Отношение упрощается до −2x − h + 7, значит A = −2, B = −1 и C = 7. Все слагаемые без h уничтожаются, поэтому h в знаменателе можно сократить.
Результат: 5/(√(5x+5h+1) + √(5x+1)). Умножение на сопряжённое превращает разность корней в 5h, что позволяет сократить h в знаменателе.
OP = 1. Подстановка t = m² + n² превращает условие в t² + 4t − 5 = 0 с корнями 1 и −5; годится только t = 1, ведь сумма квадратов не бывает отрицательной.
Ответ: 2m − 7 + 31/(m + 5). Переставляем в 2m² + 3m − 4, делим по схеме Горнера с корнем −5 и проверяем, что числитель при m = −5 действительно равен остатку 31.
Ответ: x² − 2, остаток 0. Деление в столбик завершается за два шага, а группировка это подтверждает: 2x³+x²−4x−2 равно x²(2x+1) − 2(2x+1).
Частное равно x − 1/2, остаток равен −1/2. Вставляем пропущенное слагаемое 0x и дважды делим старшие члены; неприведённый 2x даёт дробные коэффициенты частного.
Частное равно x − 1/2, остаток равен 5/2. Два круга деления старших членов завершают задачу, а тождество деления подтверждает дробные части.
Ответ: 2x+1, x ≠ -3. Разбиваем средний коэффициент на 6 и 1, группируем: (2x+1)(x+3), затем сокращаем общий множитель.
Частное: 3p+7, остаток: 5. Сначала приводим к убывающим степеням, затем выполняем уголок по корню 1. Остаток равен значению числителя при p=1.
Ответ: частное 3x-3, остаток -2. Для деления 3x²-5 на x+1 добавим 0x, выполним деление столбиком и проверим результат по теореме остатка при x = -1.
Ответ: частное 3x³ + 6x² + 8x + 24, остаток 47. Для деления 3x⁴ − 4x² + 8x − 1 на x − 2 обязательно записываем 0x³ и проверяем по теореме остатка.
При делении (4a²−b²)/(b+2a) на (b−2a)² получается 1/(2a−b). Подробное объяснение разложения и сокращения выражения.
Ответ: 4p+3+10/(p-2). Остаток 10 подтверждается подстановкой p=2 в числитель.
Ответ: −(a+3)/(2a). Знак минус появляется из-за обратного разности квадратов, сокращаются (a−3) и (a−5) после замены деления на умножение.
Частное 2x³ + x² − 4x − 2, остаток 0. Значит, x = 1 — корень, а x − 1 — делитель многочлена. Коэффициенты частного видны в последней строке схемы Горнера.
После разложения на множители и сокращения трёх пар выражение упрощается до (a−1)/(a−2). Не забываем про все ОДЗ.
Ответ: 5xy + 4x – 3y. Делим каждый член, вычитаем показатели, проверяем умножением: получаем исходный многочлен.
Ответ: f²−4f+16, остаток 0. Записываем недостающие коэффициенты, используем уголок с −4, замечаем разложение суммы кубов.
Ответ: j²+4j+16, остаток 0. Используется синтетическое деление с корнем +4; это разность кубов, поэтому все знаки в частном положительные.
Ответ: x²–x+1–1/(x+1). При делении x³ на x+1 столбиком получаем частное x²–x+1 и остаток –1, что совпадает с теоремой об остатке.
Частное при делении x³ − 3x² + 5x − 3 на x − 1 равно x² − 2x + 3, остаток 0. x − 1 — делитель кубического многочлена.
Частное от деления x³ + 6x² + 11x + 6 на x² + 4x + 3 равно x + 2, остаток — 0. Решение через столбик и проверка разложением на множители.
Ответ: x+5, остаток 0. Деление столбиком или группировка: x⁴+5x³−3x−15 = (x+5)(x³−3).
Ответ: частное x/3 − 5, остаток 50. При делении x²−12x+5 на 3x+9 первый член частного — x/3, далее остаток вычисляется полностью.
Результат деления: x³ + 2x² + 17x + 20, остаток −80x − 148. Приведём многочлены к стандартному виду, добавим нули и выполним деление столбиком.
Частное равно (y − 9)(y² + 9)/(y − 5). Умножаем на обратную дробь, раскладываем разность квадратов и трёхчлен, сокращаем общий множитель (y + 9).
Ответ: A = 5. При делении 2x³ - x² + 2x + 5 на x + 1 последний член частного — 5.
Область определения функции — интервал (−2; +∞). Подкоренное выражение должно быть положительным, знаменатель — отличен от нуля, поэтому x + 2 > 0.
Область определения функции — все действительные числа, кроме 5 и 7. В интервале: (−∞,5)∪(5,7)∪(7,+∞). Эти значения делают знаменатель равным нулю.
Область определения — все x, кроме ±1 и ±2. Записывается пятью интервалами. Четвёртая степень знаменателя раскладывается через замену u = x².
Область определения: (−∞, −12) ∪ (−12, 15) ∪ (15, ∞). Исключаются точки, обращающие знаменатель в ноль.
Область определения: (−∞; 5) ∪ (5; 9) ∪ (9; ∞). Многоэтажная дробь скрывает сразу два ограничения — внутренний знаменатель и внешний; разбираем оба.
Область определения — вся числовая прямая, кроме –3, –1 и 1. Куб знаменателя раскладывается на (x+3)(x–1)(x+1), что даёт четыре интервала.
Область определения разности f-g — вся числовая прямая. f(x)=2-x² и g(x)=x²+4x-60 определены при любых x, значит, их разность тоже.
Область определения функции — [4; +∞). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны, пересечение условий даёт x ≥ 4.
Ответ: область определения — [-10; +∞). Подкоренное выражение x + 10 ≥ 0, значит x ≥ -10. Точка -10 включается, так как √0 = 0.
Область определения функции f(x) = x² - 2x + 9 — это (-∞; +∞), так как многочлен определён при любых x. Ограничения накладываются только на область значений.
Область определения функции √(4x−12) — это [3; +∞). Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, поэтому 4x−12 ≥ 0, то есть x ≥ 3.
Область определения — (−∞,−6) ∪ (−6,6) ∪ (6,∞). Кубический корень определён при любом x, но знаменатель не должен обращаться в ноль.
Ответ: (−1; 0) ∪ (1; 2). Неравенство разбивается на два, решается по отдельности, затем берётся пересечение — промежуток [0; 1] выколот.
Правильный вывод — a = b. При b^2 = 4ac и a - 2b + 4c = 0 получаем a = 4c и b = 4c, значит, a = b.
Единственный корень: x = −0,1. Равенство квадратов даёт два случая: 5x+7=±(5x−6); плюс невозможен, минус даёт 10x=−1.
Прямая через (10, −5) и (1, −8): y = x/3 − 25/3. Двойные минусы дают положительный наклон, точное значение свободного члена сохраняется.
Прямая имеет вид y = 2x + 13. Крутой наклон 2 и отрицательные x дают высокий y-перехват, что видно по расчёту и проверке обеих точек.
Ответ: все действительные числа. Квадраты противоположных выражений равны, поэтому уравнение тождественно верно при любом x.
Ответ: x = 11. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых квадратные члены сокращаются, остаётся линейное уравнение.
Ответ: x = 44. После раскрытия скобок x^2/12 сокращается, и остаётся линейное уравнение с НОК 60.
Ответ: 514. Сначала вычисляется скобка (4), затем возводится в куб (64), умножается на 8 (512), и только после этого прибавляется 2.
Суммируем кубические слагаемые, подставляем x=1/2 и получаем C=13/2.
При x=1 выражение (2x+3)²−(2x−1)²−6x равно 18. После упрощения разностью квадратов получаем 10x+8, подставляем x=1 — выходит 18.
Значение равно 62. Если сначала раскрыть скобки, выражение сворачивается до 20x + 61, и неудобную дробь x = 1/20 не приходится возводить в квадрат.
После приведения подобных остаётся 20x³ + 6x + 1, и при x = 1/2 получаем 5/2 + 3 + 1 = 13/2. Похожее 8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³ дало бы 8 — не путайте.
Искомое значение — 400: выражение 9x² − 12xy + 4y² свернётся в (3x − 2y)², а при 3x − 2y = 20 получаем 400.
Если x : y = 2 : 3, то (3x²−2xy+5y²)/(5x²−3xy+3y²) = 45/29. Подставим x = 2k, y = 3k — k² сокращается, остаётся 45/29.
При x = 90,1 выражение -28,9·ln(x) + 64,449 даёт примерно -65,63. Если взять грубое значение ln(90,1), погрешность составит около 0,02.
Ответ: f(4) = 9. При x = 4 выполняется 3 ≤ x ≤ 10, значит, используем x² - 7: 16 - 7 = 9.
g(-1) = -6, g(7) = 38, g(0) = -4, а g(-2) не определено, так как -2 не входит в область определения. Ответы с пояснением выбора ветви.
Ответ: 0. Подстановка m = 3 и n = 2 даёт 3 − 18/6 = 3 − 3, а сокращение n показывает, что выражение равно m − m²/3 и обращается в нуль при m = 3.
Ответ: 50. Развёртываем сумму: 3+8+15+24=50, либо используем формулы суммы квадратов и количества слагаемых — результат тот же.
Ответ: 44. Подставляем x = 8, y = 4, раскрываем скобки, возводим в квадрат, умножаем и вычитаем: 64 – 5·4 = 64 – 20 = 44.
Подставляя x = 7 в выражение x² – 6x + 3, получаем 10. Сначала возводится в квадрат, затем умножается, далее действия выполняются слева направо.
Ответ: 25. Выражение — полный квадрат (x − 4y)², поэтому можно сразу подставить x − 4y = 5, не находя x и y по отдельности.
Ответ: y = 4. Подставляем x = 2 в y = x·x, получаем 2·2 = 4. Это возведение в квадрат, а не удвоение.
Ответ: 29 + (142 − √3)i. Куб числа 3 − 2i равен −9 − 46i, а умножение на −3 даёт 27 + 138i, что определяет итоговую сумму.
Для любой матрицы A найдётся B такой, что ABA = A. B строится через каноническую форму по рангу: B = QD⁻P, где D — блочная единичная.
Ответ: 7x² – 21x + 21. Сначала раскрываются скобки по формуле, затем приводятся подобные слагаемые.
Ответ: x⁶+2x⁵+3x⁴+3x³+3x²+2x+1. При возведении в квадрат получается палиндром 1,2,3,4,3,2,1, а вычитание x³ уменьшает средний коэффициент с 4 до 3.
Ответ: 40x⁶ − 68x⁴ − 58x³ − 24x² − 91x − 72. Каждый из трёх членов первого многочлена умножается на трёхчленный второй, затем результаты собираются по степеням.
Произведение (2x−√2x−1)(2x+√2x−1) раскрывается как 4x²−6x+1. Группировка даёт разность квадратов: (2x−1)²−2x.
При раскрытии (4x² − 3)² по формуле квадрата разности получаем 16x⁴ − 24x² + 9. Используется шаблон (a − b)² = a² − 2ab + b².
Правильное раскрытие: 5x³+5x²−55x−15. Сначала перемножаются скобки, затем умножается на 5. Многие забывают про последний шаг.
Раскрыто: (515 − 0,27x)·98² = 4946060 − 2593,08x. Сначала возводится 98 в квадрат, затем применяется распределительное свойство.
Произведение (5x²+6x)(9x²−8) раскрывается как 45x⁴+54x³−40x²−48x. Все четыре члена имеют разные степени и не приводятся.
При умножении многочлена на 5y² получаем: 5x²y³ − 10xy² − 25y⁶ − 10y⁵ + 25y⁴ + 30y³ − 25y². Степени y увеличиваются на 2.
Ответ: 7x³ + 35x² − 21x − 49. Сначала раскрываются скобки по каждому слагаемому, затем приводятся подобные.
Ответ: 35x⁴ + 7x³ – 39x² + 34x – 10. Перемножаются все члены, затем приводятся подобные.
При раскрытии (98 − 0,18x) × 270² получаем 7144200 − 13122x. 270² = 72900, 98 × 72900 = 7144200, 0,18 × 72900 = 13122 — коэффициент x целый.
Раскрытие скобок даёт -48x⁴y - 8x³y³ - 48x²y² + 32x²y - 40xy⁴ - 56xy² + 64xy. Каждый из 7 членов умножается на 8xy с учётом степеней.
Числитель раскрывается в a₁x² – 2a₁xy + (a₁+a₂)y² + b₁x + (b₂–b₁)y. Скобки раскрываются поэтапно, начиная с вложенных выражений.
Кубический многочлен: −0,013122x³ + 50,058x² − 57477,78x + 18572960. Сначала перемножаются два бинома, затем раскрывается третий, внимательно следя за десятичными коэффициентами.
Произведение (1+√2)(√2−4) раскрывается и упрощается до −2−3√2. Корни складываются, а √2·√2 даёт 2.
Ответ: 2√6 − √42. Раскрываем скобки, перемножаем корни: √6 × √7 = √42, который не упрощается.
Ответ: m² – 4m + 4. Средний член — удвоенное произведение m и 2 с минусом; последний член положителен, так как квадрат всегда неотрицателен.
Ответ: 20x³ – 6x – 42. Раскрываем скобки, следим за знаками, приводим подобные слагаемые и записываем многочлен в стандартном виде.
Ответ: x²/3 – 4x/3 – 5/3. Сначала раскрывается скобка, затем умножается на 1/3, после чего складываются дроби с общим знаменателем.
Ответ: x²/3 − 4x/3 − 5/3. Сначала перемножаем скобки и получаем x² − 4x − 5, затем умножаем на 1/3 каждое слагаемое, а не только первое.
Ответ: pq-p-q+2. После раскрытия скобок и сложения с 1 получается pq-p-q+2, а не pq-p-q+1.
При раскрытии (√2 + √3 + √5)² получаем 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 по формуле квадрата суммы трёх слагаемых.
Ответ: x⁴ - 8x^(5/2) + 24x - 32/√x + 16/x². Степени уменьшаются на 3/2, а не на 1 — это типичная ошибка при раскрытии бинома с корнем.
Ответ: −8x³ − 48x² − 104x − 352, или −8(x³ + 6x² + 13x + 44). Старшие члены x⁴ сокращаются, так как обе скобки возводятся в четвёртую степень.
Произведение (x + 2)(x − 3) раскрывается в x² − x − 6. Средние члены дают −x, свободный — −6, так как знаки разные.
Произведение (x+2)(x+5) раскрывается как x²+7x+10. Сначала получаем x², 5x, 2x и 10, затем складываем средние члены: 2+5=7, 2×5=10.
Ответ: x⁴+4x³−12x²−32x+64. Оба множителя — полные квадраты, произведение сводится к (x²+2x−8)² и требует только одного возведения в квадрат.
Ответ: x = 0 и x = 1. Представим 9 как 3^2, перенесём дробь в числитель, затем замена t = 3^(x-1) сведёт уравнение к квадратному 3t^2 - 4t + 1 = 0.
Решение: −2 < x ≤ 6. Подставляем t=2^x, приводим к общему знаменателю, строим числовую прямую, возвращаемся к x.
Ответ: ((3−√17)/2; 0) ∪ ((3+√17)/2; +∞). Приводим обе части к одному основанию, меняем знак неравенства, так как 2/5 < 1, и применяем метод интервалов.
Решение: 2 ≤ x < 4. Числитель раскладывается группировкой, знаменатель — по формуле, далее строится таблица знаков по областям.
Решение: 0 < x ≤ log₇2 или log₂7 ≤ x < 4. Группируем 14^x как 2^x·7^x, раскладываем -x²+4x, строим таблицу знаков.
Решение: x = 0 или 1 < x < log₂3. Подстановка t = 2^x приводит к неравенству с квадратом в числителе и разложенным знаменателем.
x выражается через y как (7y−19)/12. При x = 2 получаем y = 43/7. Подробное пошаговое преобразование линейного уравнения.
Ответ: (1/16)(x³+8)², далее (x³+8)=(x+2)(x²−2x+4). Замена u=x³ превращает выражение в полный квадрат, разложение завершено.
Разложение: (2x+1)(5x−4). Подбираются числа 5 и −8, чтобы разбить −3x на 5x−8x и сгруппировать по общему множителю 2x+1.
Правильное разложение: (5x – 4)(25x² + 20x + 16). Используется формула разности кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).
Правильный ответ — 6(2x+3). НОД чисел 12 и 18 равен 6. После деления на 6 в скобках 2x+3, где общий множитель отсутствует.
НОК коэффициентов — 4, остаётся 3x²-44x+120 с дискриминантом 496, который не является квадратом. Корни: (22±2√31)/3, не 6 и 20/3.
18abc²−12a²b²c полностью раскладывается как 6abc(3c−2ab). НОК коэффициентов — 6, переменные берутся в наименьшей степени.
Ответ: (3x-7)(7x²-6), корни — 7/3 и ±√(6/7). Группировка по парам даёт разложение сразу, рациональных целых корней нет.
Ответ: (x - 2)(2x + 1)(x + 1). Группировка не работает, поэтому применяем теорему о рациональных корнях и деление уголком.
Ответ: x(2 – 9y). Общий множитель — только x, так как 2 и 9 взаимно просты, а y есть только во втором слагаемом.
Ответ: 2(x-6)(x+1). Все коэффициенты чётные, поэтому выносим 2 и получаем x²-5x-6, которое раскладывается по паре -6 и 1.
Разложение 2x² – 3x – 2 по методу группировки: (x – 2)(2x + 1). Перемножим 2 и –2, разобьём –3x, сгруппируем и вынесем общий множитель.
Правильная факторизация: (2x + 5)(x – 4). Произведение AC равно –40, сумма 5 и –8 даёт –3, что позволяет разбить средний коэффициент для группировки.
Многочлен 2x²–4x+1 не разлагается на множители с целыми коэффициентами, но разлагается над вещественными: (√2(x–1)–1)(√2(x–1)+1).
Ответ: (2x – 1)(x – 3y). Группируем по парам: x(2x – 1) и –3y(2x – 1), затем выносим общий двучлен.
Правильный ответ — 2x(x+2). Общий множитель — 2x: двойка и x выносятся за скобки, в скобках остаётся x+2.
Правильное разложение: 8x(4xy² – 3). НОД чисел 32 и 24 — 8, по x — первая степень, по y — ничего, так как во втором слагаемом y нет.
Полное разложение: (x+1)(x+2)(3x−2). Проверка: x=−1 — корень, частное 3x²+4x−4 раскладывается по методу произведения и суммы.
Многочлен 3x²−14xy+15y²+13x−23y+4 раскладывается как (3x-5y+1)(x-3y+4). Подбор коэффициентов показан пошагово.
Уравнение 3x⁴+24x³+82x²+136x+63=0 раскладывается как (3x²+12x+7)(x²+4x+9)=0. Два действительных корня: (-6±√15)/3, два комплексных: -2±i√5.
Ответ: −B(2A−B)². После вынесения B скобка — это минус полный квадрат, поэтому выносится ещё и минус.
Разложение: 4(m - (1+√6)/2)(m - (1-√6)/2). Целых множителей нет — дискриминант не квадрат.
Правильный ответ: 2mn(2m−4n−1). Последний член равен НОД, поэтому в скобках остаётся −1, а не исчезает.
Ответ: (2x−3)(2x+3), корни x=3/2 и x=−3/2. Оба слагаемых — точные квадраты: 4x²=(2x)², 9=3². Решение уравнения 4x²−9=0 подробно разобрано.
Ответ: (2x+y−3)(2x+y+1). Первые три слагаемых — полный квадрат, далее −2(2x+y), значит, выражение сводится к квадратному трёхчлену по u=2x+y.
Ответ: y(2x + 3)². Сначала выносится общий множитель y, затем скобка — полный квадрат, так как 12x = 2·2x·3.
5x⁴−80 полностью раскладывается как 5(x−2)(x+2)(x²+4). Выносится 5, дважды применяется разность квадратов, x²+4 далее не раскладывается.
Разложение: (3x−2a+3)(2x−a−4). Сначала раскладываем 6x² − 7ax + 2a² = (3x−2a)(2x−a), затем подбираем p и q с pq = −12 под члены −6x и +5a.
Ответ: 3(x−y)²(x+y). Второе слагаемое приводится к 3(y−x)³, затем используется (y−x)³=−(x−y)³, выносится 3(x−y)².
Ответ: 3(5a³−7b⁸)(5a³+7b⁸). Сначала выносится НОД 3, затем применяется разность квадратов к (5a³)² и (7b⁸)².
7x² − 7x − 140 раскладывается как 7(x − 5)(x + 4). Сначала выносится общий множитель 7, затем трёхчлен x² − x − 20 разлагается на два двучлена.
81x² − 121y² разлагается как (9x − 11y)(9x + 11y) по формуле разности квадратов.
Полное разложение: 9x(x − 1)(x + 1). НОК — 9x, а x² − 1 — разность квадратов.
Разложение: (3x + 1)². Крайние члены — квадраты, а средний 6x равен удвоенному произведению 3x и 1, что подтверждает формулу полного квадрата.
Выражение сводится к (a²+ab+b²)(x²+xy+y²). После раскрытия скобок и группировки по x², xy и y² трижды получается множитель a²+ab+b².
Разложение: −(a − b)(b − c)(c − a)[3(a² + b² + c²) + 5(ab + bc + ca)]. Подробное объяснение, почему это выражение делится на произведение разностей.
Ответ: (a-b)(a+x)^m(b+x)^(n-1). Выносятся минимальные показатели степеней, скобка упрощается до a-b.
Ответ: (a²−2ab+2b²)(a²+2ab+2b²). Прибавление и вычитание 4a²b² превращает сумму в разность квадратов для разложения.
Многочлен a^4+a^3+a^2+a+1 неразложим над рациональными, но над действительными раскладывается на два квадратных множителя с золотым сечением.
Полное разложение: (1/12)x^2y^2(6x^2+4xy+3y^2). Общий множитель — (1/12), он убирает все знаменатели.
Ответ: (a²+ab−1)(ab+b²−1). Раскрываем скобки, замечаем делитель ab+b²−1 и получаем симметричную пару (a(a+b)−1)(b(a+b)−1).
Ответ: (x²+6x-6)(x²-6). Скобки группируются так, чтобы свободные члены совпали, затем вводится замена y = x²+x-6 для упрощения выражения.
Разложение: (y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x). Сначала выделяется полный квадрат, затем применяется формула разности квадратов.
Уравнение 8x⁴ - 6x³ + 30x² - 18x + 18 = 0 не имеет вещественных корней. Корни: (3 ± i√39)/8 и ±i√3. Оба квадратных сомножителя имеют отрицательный дискриминант.
Полный разбор: 3x⁵+9x⁴+4x³-9x²-15x-10 = (x+2)(3x²-5)(x²+x+1). Три вещественных корня: -2, ±√(5/3).
Ответ: (a² + b²)(a⁴ − a²b² + b⁴). a⁶ и b⁶ представляются как кубы квадратов, применяется формула суммы кубов.
Разложение выражения a²-4x²+12x-9 даёт (a-2x+3)(a+2x-3). Группировка x-термов выявляет полный квадрат, превращая всё в разность квадратов.
Ответ: (a + 2)². 4 — это 2², а 4a = 2·a·2, значит, выражение — полный квадрат суммы.
Сумма квадратов не раскладывается над ℝ, но над ℂ: a² + b² = (a + bi)(a − bi), так как i² = −1 и перекрёстные члены взаимно уничтожаются.
Ответ: (x-1)²(x²-3x+1). Разложение палиндромной четвертой степени x⁴-5x³+8x²-5x+1 через подбор коэффициентов: a = -2, b = -3.
Разложение: (x-1)(x-2). Корни уравнения x²-3x+2=0 — x=1 и x=2. Оба множителя отрицательны из-за знаков коэффициентов.
Корни уравнения x² − 4x + 3 = 0 — это x = 1 и x = 3. Разложим на множители по методу суммы и произведения и решим через нулевой множитель.
Ответ: (x+y)(4x²y²+a²+12). Группировка по парам выявляет общий множитель x+y, который выносится за скобки.
Полное разложение: (f - 4g + 3h)(f + 4g - 3h). Три последних слагаемых дают полный квадрат, поэтому выражение — разность квадратов.
Ответ: −x²y(x−1)(x−5). Сначала выносится НОК x²y, затем минус перед скобкой, после чего трёхчлен раскладывается на множители.
Ответ: -3x⁶ + 12x¹² полностью раскладывается как 3x⁶(2x³-1)(2x³+1). После выноса 3x⁶ скобка 4x⁶-1 — разность квадратов и также раскладывается.
Ответ: (3c/4 – 1)(3c/4 + 1). Дробь 9/16 — это полный квадрат, так как 9 и 16 — квадраты, значит, корень — 3/4.
Ответ: (1/7 − c⁵n³)(1/7 + c⁵n³). Оба слагаемых — квадраты: 1/49 = (1/7)², c¹⁰n⁶ = (c⁵n³)², так как показатели делятся пополам.
27x³+y³=(3x+y)(9x²−3xy+y²), x³−8y³=(x−2y)(x²+2xy+4y²), x³+512=(x+8)(x²−8x+64). Учимся видеть два куба и без ошибок расставлять знаки в формулах.
Ответ: (x – 1)(x – 2)(x + 3). Находим корень x = 1 через теорему о рациональных корнях, делим на x – 1, затем раскладываем x² + x – 6.
Многочлен x³ + 3x² − 4 полностью раскладывается как (x−1)(x+2)². Проверка x=1 даёт корень, деление — x²+4x+4, это полный квадрат.
Ответ: (x + 3)(x − 2)(x + 2). Группировка по парам выделяет общий множитель x + 3, а оставшееся x² − 4 — разность квадратов.
Ответ: (x + 1)(x² + 2x + 5). Единственный рациональный корень — x = -1, а квадратный множитель неприводим (дискриминант -16).
Рационально: (x–1)(x²+5x+5). Квадратный множитель неприводим по рациональным, но по вещественным корни (–5±√5)/2.
Ответ: (x + 1)(x − 2)(x + 2). Группировка по парам выявляет общий множитель x + 1, а оставшееся x² − 4 — это разность квадратов.
Полное разложение: (x + 1)²(x − 1). Сначала группируем, затем раскрываем разность квадратов.
Многочлен x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 полностью раскладывается как (x+1)(x²+x+1)(x²−x+1). Используется формула суммы геометрической прогрессии.
Ответ: (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴). Сумма степеней раскладывается только при нечётном показателе, знаки в длинном множителе чередуются.
Ответ: (x² + x + 1)². Палиндром коэффициентов 1, 2, 3, 2, 1 — это квадрат набора 1, 1, 1; действительных корней нет, так как x²+x+1 > 0 при любом x.
Многочлен x⁴ + 2x³y + 3x²y² + 2xy³ + y⁴ раскладывается как (x² + xy + y²)². Это полный разложение: внутренний трёхчлен неприводим над действительными.
Ответ: (x² + 2x + 3)(x² – x + 1). Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому коэффициенты подбираются через bd = 3.
Ответ: (x² − x + 1 − a)(x² + x + 1 + a). Преобразуем x⁴ + x² − 2a·x + 1 − a² в разность квадратов: (x² + 1)² − (x + a)².
Ответ: 2(x-2)(x+2)(x^2+10). При раскрытии скобок нечётные степени сокращаются, остаётся квадратный трёхчлен по x^2.
Полное разложение: 2x(x+4)(x^2+4x+14). Подстановка y = x+2 убирает нечётные степени, оставляя биквадратное уравнение, которое легко раскладывается.
Ответ: (x+5)/(x+6)^(6/5). Выносится наименьшая (самая отрицательная) степень —6/5, скобки раскрываются, ответ упрощается.
Ответ: −(x + 6)(x + 7)^(1/3). Выносим меньшую степень (x + 7)^(1/3), затем скобку 1 − (x + 7) упрощаем до −x − 6.
Ответ: (x-64)(x-36), а не (x-48)². Сначала вычисляем 48²=2304, затем подбираем пару -64 и -36, сумма которых -100.
Разложение x² - 2ax + x + a² - a - 2 даёт (x-a-1)(x-a+2). Подстановка u = x - a приводит к u² + u - 2 = (u-1)(u+2).
Ответ — (x-y-3)(x-y+3). Первые три слагаемых дают полный квадрат, затем — разность квадратов с 3².
Ответ: x(x−4). В обоих слагаемых есть x, значит, общий множитель — x. После вынесения остаётся x−4, корни: x=0 и x=4.
Ответ: (x−y−5)(x+y+1). Завершаем квадрат по x и y, приводим к разности квадратов, затем применяем формулу (A−B)(A+B).
Ответ: (x−3)(x−4). Постоянный член положительный, средний коэффициент отрицательный — оба числа отрицательны: −3 и −4. Их произведение 12, сумма −7.
Дискриминант равен −3, поэтому над R разложения нет. Над C выражение распадается на (x − (1 + i√3)/2)(x − (1 − i√3)/2) — пара сопряжённых корней.
x² + 25 — неприводимый многочлен над действительными числами. Сумма квадратов не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
Ответ: (x+a+6)(x+a−1). Постоянный член a²+5a−6 раскладывается как (a+6)(a−1), их сумма — коэффициент 2a+5 при x.
Ответ: (x – 4y)(x + y + 2). Сначала группируем по степеням: x² – 3xy – 4y² + 2x – 8y, затем выносим общий множитель и проверяем обратным раскрытием скобок.
Разложение x²+5xy+6y²−2x−7y−3 на множители: (x+2y−3)(x+3y+1). Сначала выделяется квадратичная часть, затем подбираются константы.
Ответ: (x + 4)(x – 3). Числа 4 и –3 дают произведение –12 и сумму 1 — других подходящих пар нет.
Ответ: (x + 3)(x - 2). Подбираются числа с произведением -6 и суммой 1 — это 3 и -2. Подставим, проверим раскрытием скобок.
Ответ: (x + a)(x - a + 1). Числа a и 1 - a дают нужную сумму и произведение для разложения x² + x - (a² - a) по стандартной схеме.
Дискриминант равен −3, вещественных корней нет. Над ℂ: (x + 1/2 − i√3/2)(x + 1/2 + i√3/2). Это кубические корни из единицы.
Ответ: (x²−xy+y²)². Симметричный многочлен четвёртой степени раскладывается в полный квадрат.
Ответ — (x−y)(x−1)(x+1). Знак у (y−x) меняется, скобки совпадают, а x²−1 — это разность квадратов.
Полное разложение x²y-4xy+4y — это y(x-2)². Сначала выносится общий множитель y, затем скобка сворачивается по формуле квадрата разности.
Ответ: (x - 1)(x^104 + x^103 + ... + x + 1). Для любого n разность степеней x^n - 1 всегда делится на x - 1, а второй множитель — сумма степеней.
Ответ: (x + 1)(x^104 - x^103 + ... - x + 1). Так как 105 — нечётное, x = -1 — корень, значит, x + 1 делит выражение, а сомножитель чередует знаки.
x⁴ – x² + 1/4 представляется как (x² – 1/2)². Это полный квадрат по x², так как 1/4 = (1/2)², а –2·x²·1/2 = –x².
Ответ: (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + … + yⁿ⁻¹). Все коэффициенты положительные, при раскрытии скобок средние члены сокращаются.
Ответ: (x − y)(x + y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)(x⁴ − x³y + ...). Сначала разложим как разность квадратов, затем применим формулы для пятой степени.
Ответ: (x-1)²(y-1)². Подробно раскрываем скобки, приводим подобные и видим полный квадрат выражения (xy-x-y+1), который равен (x-1)(y-1).
Ответ: ab = −1/4 при a = −1/2 и b = 1/2. Решения лежат между корнями, значит a < 0, а свободный член 1 однозначно определяет масштабный множитель.
Уравнение линейно, когда оба показателя равны 1: получаем систему 2a − b = 2 и 3a + 2b = 17, откуда a = 3, b = 4, а само уравнение принимает вид 2x − 3y = 10.
Ответ: (a, b) = (4, −10). Коэффициенты определяют суммы корней, интервалы — (1, 4) и (−5, 2), их пересечение — (1, 2).
a = -5, b = 25, поэтому a - b = -30. Центр интервала равен -5/a = 1, радиус — b/|a| = 5, что однозначно определяет параметры.
Ответ: a ≤ 1. Подстановка x = 3 даёт 2a, а «3 не принадлежит A» означает, что 2a > 2 ложно, то есть a ≤ 1. Знак неравенства не меняется.
Подставляя начало координат в sqrt((x-1)^2 + y^2)·(x - a) = 1, получаем 1·(-a) = 1, значит, a = -1.
Разность функций: (f-g)(x) = 4x+8. Минус применяется ко всему g(x), поэтому -6 становится +6, далее складываем 5x-x и 2+6.
f(2) = 18. Используется деление многочленов: (x+1)f(x) = (x^3+2)Q(x) + x+2, Q(x)=2x+1 по условиям f(0)=4 и корня x=-1.
k = 3. Интервал решений неравенства симметричен относительно x = 5, центра симметрии функции. Подставляя, получаем k = 3.
k = 5. Неравенство симметрично относительно x = 4, поэтому середина интервала (k - 8 + 2k + 1)/2 равна 4. Получаем 3k - 7 = 8 и ответ: -3 < x < 11.
Ответ: k = 5. Приводим каждый радикал к кратному √3: −1, −1/3, +1/3 и +6. Два средних слагаемых взаимно уничтожаются, остаётся ровно 5√3.
λ принимает значения от 2022 до 2026 включительно, чтобы √(4 − (λ−2024)²) было действительным. Неравенство |λ−2024| ≤ 2 задаёт этот промежуток.
Ответ: m = 13. Подставляем x = 2, получаем 36 + 4m = 88; вычитая 36, имеем 4m = 52; делим на 4 — m = 13.
Ответ: 5/4. Делим, чтобы выделить сопряжённое к z − 1, избавляемся от мнимости в знаменателе, сопрягаем обе части и находим |z|² = a² + b².
Ответ: N = 42u²v − 25uv² + 3v³. Для этого к обеим частям уравнения прибавляется вычитаемый трёхчлен и приводятся подобные слагаемые.
Ответ: P = 12m²n + 3mn² + 27mn. P находится как разность первого и второго многочленов, при этом знаки второго меняются на противоположные.
Ответ: |Z| = 2. Записываем Z = r·e^(iθ); общий множитель e^(−iθ) имеет модуль 1, остаётся √(r² + 16/r²) = 2√2 и полный квадрат (r² − 4)² = 0.
Ответ: (−∞; −3), при b = 6. Если (2; +∞) — один из промежутков решения неравенства x² + x − b > 0, то второй — (−∞; −3), а b = 6.
Обратная дробь к 1/(5y²) равна 5y² при y ≠ 0. Чтобы найти обратную, меняем местами числитель и знаменатель; проверка — произведение равно 1.
Суммируя уравнения, получаем 2(t₁+t₂+t₃) = 24,62, значит, t₁+t₂+t₃ = 12,31 с. Вычитая каждую пару, находим t₁ = 5,59, t₂ = 2,97, t₃ = 3,75 с.
Ответ: y = 2254, x = 2231,46. Оба уравнения приводятся к x = 0,99y и x = 0,98(y+23), приравниваются, и остаётся коэффициент 0,01.
Складываем уравнения: 5x + 5y = 29, значит, x + y = 29/5 — отдельные значения x и y не нужны.
Первый отрицательный член арифметической прогрессии — u₄₀₅ = –2. Предыдущий u₄₀₄ = 3 ещё положителен, что подтверждает переход.
Ответ: делим 8x³ на 2x, получаем 4x². В столбик многочлены всегда начинают с деления старших членов.
Решая неравенство 3 + 7(n - 1) > 2018, получаем n > 288,86. Значит, первый подходящий член — u₂₈₉ = 2019.
Система решается: x = 126/5, y = 18/5, z = −24/5, w = 3/5, m = −41/5. Подставляем y = 6w и x = 30 + z, далее выражаем остальные переменные.
Ответ: x = 17, y = 20, z = −13, w = −13/3. Приведём к общему знаменателю и выразим x, y, w через z — система сводится к одному уравнению.
Решение: x = −71, y = 68, z = −101, w = −709/6. Первая уравнение даёт x + y = −3, подстановка x = 30 + z приводит к y + z = −33, далее остаётся одно уравнение для y и z.
Ответ: x = 17, y = 20, z = −13, w = −125/6. Освобождаемся от дробей в первом уравнении, а приравнивание второго и третьего полностью убирает z.
Ответ: угловой коэффициент равен 3. Преобразуем уравнение к виду y = mx + c и находим коэффициент при x.
График — парабола вверх с вершиной (0;1), осью x=0 и областью значений y≥1. Корней нет: к оси x не прикасается.
Вершина — (−5; −4), график открывается вниз, y-перехват (0; −9), x-перехватов нет, область значений (−∞; −4].
Решением неравенства 3|x|+4|y|≤12 является закрашенный ромб с вершинами (4,0), (0,3), (-4,0), (0,-3), включая границу.
Ответ — замкнутая верхняя полуплоскость: y ≥ 0, сплошная граница по оси x, закрашиваем всё выше неё.
Решением системы является неограниченная область x ≥ 2, y ≤ 6 − x с вершиной (2, 4): правее x = 2 и не выше y = 6 − x, обе границы включены.
Высота равна x − 3 + (7x − 9)/(x² − 2). Деление уголком даёт ненулевой остаток 7x − 9, поэтому высота не многочлен; проверка при x = 2 даёт 1,5.
Наибольший рейтинг специй равен 26,5. Умножаем уравнения на 2, складываем — получаем x+y+z=43,5, затем находим каждую переменную вычитанием.
Ответ: при k ≠ 1 только (0,0,0); при k = 1 — вся прямая (0,t,t). Исключение между 1 и 3 уравнениями даёт x = 0, затем (k-1)z = 0 разбивает случаи.
Ответ: (x, y, z) = (0, t, t), где t — любое действительное число. Определитель равен нулю, поэтому кроме тривиального решения система имеет целую прямую решений.
Путь улитки — арифметическая прогрессия. Если первый и последний день в сумме 10 м, а всего 150 м, то по формуле суммы получаем 30 дней.
В обеих прогрессиях — 2, 5, 8... и -1, 6, 13... по 1000 членов — совпадают 142 числа: это члены вида x ≡ 20 по модулю 21 до 2999.
График функции |x|−9 получается сдвигом графика |x| вниз на 9 единиц. Вершина перемещается в (0,−9), форма и наклоны сохраняются.
В точке (0,0) уравнение имеет два решения: z = 0 и z = 2, поэтому однозначной функции f не существует. Поверхность: x² + y² = √(8z) − z² при 0 ≤ z ≤ 2.
Ответ: h > 1,3397. Для h ≤ 0 решений нет; при h > 0 неравенство сводится к h⁴ − 1,8h − 0,81 > 0, единственный положительный корень найден численно.
Ответ: x ≤ 1. Умножение на общий знаменатель 6 убирает обе дроби, а деление на −11 в самом конце — это тот шаг, где знак неравенства меняется на противоположный.
Решение: x < 2, x ≠ −1. После разложения получаем (x+1)²(x²−x+1)(2−x) > 0. Квадрат и квадратный трёхчлен всегда положительны, знак определяет 2−x.
В прогрессии из 1001 члена от 1 до 2018 с разностью 2017/1000, 501-й член равен 2019/2 = 1009,5 — ровно середина между 1 и 2018.
Между 2 и 22 вставляются 7, 12 и 17, чтобы получить арифметическую прогрессию: 2, 7, 12, 17, 22. Разность d = 5.
Ответ: x > 3. Ветвь x < −2 исключается условием x ≥ −1, остаётся только x > 3.
Ответ: (0,4433; 0,7268) и (–0,6025; 4,9100). Приравниваем выражения, избавляемся от знаменателя и получаем квадратное уравнение 9,36x² + 1,49x – 2,5 = 0.
Ответ: примерно (0,4569; 0,6724) и (–0,9500; 6,2998). Приводим к общему знаменателю, получаем 288x²+142x–125=0, решаем, оба корня проходят проверку на полюс.
Пересечение — это {−10}. Обе интервальные скобки включают −10, других общих точек нет, поэтому пересечение состоит из одной точки.
Ответ: t⁻¹(x)=x^2/9-6 при x≥0. Переменные меняются местами, делим на 3 до возведения в квадрат, ограничение по области связано с исходным диапазоном.
В записи {x | 2 ≤ x ≤ 5, x = 10} запятая означает «и», а не «или», поэтому это пустое множество. Для [2, 5] ∪ {10} нужно писать «или».
Функция f(x) = x√(x+9) не является ни чётной, ни нечётной: f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x), а её область определения не симметрична относительно нуля.
Система имеет четыре решения, включая (3/5, 4/5, -5) и (-1, 0, 1), а также два с корнем из 11. Все решения удовлетворяют x² + y² = 1.
Это числа 23, 24 и 25, наибольшее — 25. Обозначим первое за x, получим уравнение 3x + 3 = 72, найдём x = 23 и прибавим 2.
x = 6. Если y = 2x² − 21x + 64 и y = 3x + a пересекаются ровно один раз, квадратное уравнение имеет двойной корень: x = 24/4 = 6 и a = −8.
Прямая проходит через (-1; 7) и имеет угловой коэффициент -4: уравнение y = -4x + 3. Используется точка и наклон, преобразуем к y = kx + b.
Ответ: y = 2/3 x + 9. Подставляем данные в точечно-угловую форму, раскрываем скобки и выражаем y.
x ≈ 128,0002, но точный ответ — x = 128. Десятичные коэффициенты — округления дробей 3/110 и 384/110, их частное даёт ровно 128.
Ответ: x = -3. Все слагаемые имеют знаменатель 3, поэтому уравнение сводится к x - 1 = 2x + 2.
Уравнение: 50x + 20y = 2000 (или 5x + 2y = 200). Пример целочисленного решения: x = 20 взрослых, y = 50 детей — оба условия выполняются.
Ответ: все действительные числа. Обе части раскрываются в 3-8x, уравнение сводится к тождеству 3-8x=3-8x, а не к ограничению на x.
Ответ: u = −1127⁄300. Дробь 4520⁄1200 сокращается до 113⁄30, 0,01 — это 1⁄100. Приводим к общему знаменателю 300 и вычитаем.
Ответ: x = -209/7. Сложим целое и дробь, перенесём x в одну сторону, приведём к общему знаменателю 45 и выразим x.
Уравнение не имеет решений. После раскрытия скобок получаем 6x - 23 = 6x - 2; x сокращаются, остаётся неверное равенство -23 = -2.
Ответ: x = 7250. Раскрываем скобки, приводим подобные, переносим и делим — получаем точное значение x.
Ответ: x = 442625/61. Уравнение x − 0,03(0,8x − 5000) = 7232 приводит к дроби с бесконечной десятичной частью, поэтому точный ответ — несократимая дробь.
Ответ: x = 1 646 872,17, точно 2653438800000/1611199. Выносим x за скобки, приводим к одной дроби, умножаем на обратную.
Ответ: x = 29300000/171 ≈ 171345,03. Сначала вычисляется 0,0005·52 = 0,026, далее приводятся подобные и делится 175800 на 1,026.
Ответ: x > 80/3, то есть примерно 26,67. Переносим x, получаем 0,3x - 5 > 3, затем 0,3x > 8 и делим на 0,3.
Ответ: n ≥ -23/6. Раскрываем скобки, собираем n в одну сторону, делим на положительное число — знак неравенства сохраняется.
Решение: n ≥ -5. После раскрытия скобок и переноса слагаемых граница получается целым числом, а не дробью.
Ответ: x > -543/13 (около -41,77). Преобразуем обе стороны, переносим x, делим на положительное 5,2 — знак неравенства сохраняется.
Ответ: x > 10. Домножим на НОК 20, получим 5(x+2) - 4x > 20, далее x + 10 > 20, и после вычитания останется x > 10.
Ответ: x > 6. Ключ — правильно раскрыть скобки: 4 - (x-2)/2 = 5 - x/2. Приводим к общему знаменателю и делим на коэффициент.
Ответ: x < 11. Домножим обе части (2x-1)/3 > (3x-5)/4 на положительный НОК 12, получим 8x-4 > 9x-15, затем выразим x; знак не меняется.
Ответ — пустое множество: при переносе x переменная исчезает, остаётся неверное неравенство -1/3 > 4, значит, решений нет.
Ответ: x ≤ -1/2. Приводим к общему знаменателю, умножаем на 12, затем выражаем x из 14x - 2 ≤ 12x - 3.
Ответ: x > -1. Умножаем на положительный НОК 10, раскрываем скобки, переносим x так, чтобы коэффициент остался положительным.
Для y = a x^b линеаризация даёт log y = b log x + log a. На логарифмическом графике наклон равен b, а свободный член — log a.
Умножение на √x даёт y√x = px + q — линейную зависимость с угловым коэффициентом p и свободным членом q.
Уравнение y·p^x = q приводится к виду log y = –(log p)x + log q. График log y от x — прямая с угловым коэффициентом –log p и свободным членом log q.
Ответ: 1/y = (b/a)(1/x) − 1/a. Переменные связаны произведением, поэтому линейная форма получается через обратные значения, а не логарифмы.
Значение выражения log₃18 / (2 + log₃2) равно 1, так как log₃18 = 2 + log₃2 и числитель совпадает с знаменателем.
У уравнения единственный корень x = −3, поэтому сумма корней равна −3. Переход к новому основанию превращает частное логарифмов в один логарифм.
Решение: x > 16, наименьшее целое положительное — 17. Сворачиваем правую часть в один логарифм, сравниваем аргументы (основание 5 > 1), члены с x сокращаются.
Решение: x ≤ −5/2, x = 0 или 1/6 ≤ x < 1/2. Разбираем случаи по знаку x, делим на x (меняя знак при x < 0) и учитываем убывание логарифма по основанию 1/3.
Ответ: частное 3x + 2, остаток 3, то есть 3x + 2 + 3/(x − 2). Ненулевой остаток равен f(2) = 3 — ровно то, что предсказывает теорема Безу.
Ответ: 2x−4 и остаток 2, то есть 2x−4+2/(3x+2). Деление многочлена 6x²−8x−6 на 3x+2 с немоническим делителем.
Ответ: 4x² + 7x + 15 + 78/(2x–5). Остаток 78, делитель не делит многочлен нацело. Подробное объяснение деления столбиком.
Частное x^2+4x-5, остаток 0. Многочлен x^3+7x^2+7x-15 полностью раскладывается на (x+3)(x+5)(x-1) с корнями -3, -5 и 1.
Ответ: h = 4p² − 20pk. Домножаем обе части на 4p, затем раскрываем скобки: 4p(p − 5k) = 4p² − 20pk.
Доказательство: если квадратная матрица перестановочна со всеми матрицами того же размера, она равна λI. Матричные единицы E_ij обнуляют внедиагональные элементы.
AB — матрица 3×2 со строками (11,11), (4,4) и (20,20). A^T B^T не существует: 3×3 нельзя умножить на 2×3; верное тождество — (AB)^T = B^T A^T.
Ответ: x = (36 – √71)/12. Перемножая крест-накрест, получаем 6x = a², после возведения в квадрат и упрощения дроби делим на 6, сохраняя радикал.
Минимальное значение выражения — (4√2−3)/6 ≈ 0,4428 при a=(5−3√2)/2, b=3√2−4. Подставляем b=1−2a, приравниваем производную к нулю и решаем.
Минимальное значение суммы — 3/16, достигается при a = b = c. Доказательство использует неравенство степенных средних и вспомогательную лемму для квадратов.
Ответ: a ≤ 7. Минимум суммы четырёх модулей равен 7 и достигается на всём промежутке [-1; 1] между двумя внутренними точками.
Минимальное значение |x+1|+|x−2| — это 3, достигается при всех x от −1 до 2. Сумма абсолютных величин равна расстоянию между точками.
Нужно взять 10 л 20%-го раствора и 10 л 50%-го — получится 20 л с концентрацией 35%. Составляем уравнения по объёму и по чистому спирту и решаем систему.
Ответ: 25. По свойствам модуля выражение сводится к |Z2|². Z2 = (7i⁸⁸ + 24i³³)/(5i) упрощается до 24/5 - 7i/5, модуль равен 5.
Ответ: 27. После сокращения Z₂ задача сводится к |Z₁|³, где Z₁ = 3i, |Z₁| = 3. Подставляя и решая уравнения, получаем требуемый модуль.
Ответ: 21x⁴ + 28x³y + 62x²y² + 36xy³ + 45y⁴. Все шесть слагаемых получаются раскрытием скобок, x^2y^2 складываются.
(4x + 1)(3x + 2) раскрывается в 12x² + 11x + 2. Метод FOIL систематизирует перемножение пар, а средние слагаемые 8x и 3x объединяются в 11x.
Ответ: 10x⁴ + 24x³ – 63x² + 27x. Раскрываем скобки по членам, приводим подобные слагаемые.
(6x² − 7)(5x² − 6) раскрывается в 30x⁴ − 71x² + 42. Перемножаются все пары, затем −36x² и −35x² объединяются в −71x².
Ответ: 85 — действительное число. Множители являются сопряжёнными, поэтому произведение равно 9² − (2i)² = 81 + 4, мнимая часть сокращается.
Ответ: 4x⁴ + 21x³ + 7x² + 16x + 30. Сначала умножаются по вертикали, затем складываются подобные члены.
Ответ: 56y⁶ + 21y⁵ − 21y⁴ − 56x²y³ − 35y³ + 21y² − 56xy². Каждый коэффициент умножается на 7, показатели y складываются.
Кубический корень из 4, умноженный на кубический корень из 6, равен 2∛3. Корни объединяются под один радикал и выносится полный куб.
Ответ: –18x⁴ + 8x³ + 59x² – 28x + 14. Только x² получает слагаемые из обеих скобок, остальные степени — по одному.
Ответ: 2x²−4x+1. Коэффициенты при x — сопряжённые, при раскрытии скобок иррациональные части сокращаются, а (2−√2)(2+√2)=2.
Произведение дробей упрощается до (x-3)/(x+8). Все четыре квадратных трёхчлена раскладываются, сокращаются (x-6), (x+3), (x-8).
Ответ: x^3-9x^2+14x+24. Перемножаем по членам, раскрывая скобки, внимательно следим за знаками.
Ответ: x³+1. При раскрытии скобок в (x+1)(x²−x+1) четыре члена сокращаются. Это частный случай формулы суммы кубов: a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) при a=x, b=1.
Ответ: x³ + 1000. Второй множитель — это a² − ab + b² при a = x, b = 10, поэтому по формуле суммы кубов произведение сокращается до двух слагаемых.
Ответ: 2x² + 9xy - 5y². После раскрытия скобок и приведения подобных получаем этот многочлен.
Ответ: (x−1)/(x+2). Все многочлены раскладываются на множители, затем сокращаются (x−1), (x+3) и x в числителе и знаменателе.
Ответ: 2x⁴ + 6x²y² + 6x²z² + 4y⁴ + 6y²z². Складываются только x²y²; остальные одночлены различаются по переменным и не объединяются.
Ответ: вещественных решений нет. Сумма квадратов равна нулю только при равенстве слагаемых нулю, но 1,6 ≠ 1,5; дискриминант −0,08 подтверждает это.
Ответ: 15 ручек. Обозначим количество за x, составим уравнение 240/x − 240/(x+1) = 1, приведём к x² + x − 240 = 0 и берём положительный корень.
Если высадить 3003 дерева треугольником, получится 77 рядов: 77×78/2 = 3003. Решается через формулу суммы первых n натуральных чисел.
Решение неравенства a(x−4)²+b<10 по всем случаям: ответ — интервал, два луча, все ℝ или пустое множество в зависимости от знака a и значения b.
Ответ зависит от a: при a>1 — все x, при a=1 — x≠−1, при a=0 — x>−1/2, иначе интервалы через (−1±√(1−a))/a.
Ответ зависит от сравнения (1/a) и 2: при a<(1/2) — вне корней 2 и (1/a), при a=(1/2) — все x, при a>(1/2) — вне (1/a) и 2.
Корни: −3 и 4/a. Ответ по случаям: при a>0 — x≤−3 или x≥4/a; при a=0 — x≤−3; при a<0 — от min(−3,4/a) до max(−3,4/a).
Ответ: 1/(2n²+n) = 1/n − 2/(2n+1). Получено разложением на простейшие дроби с помощью сравнения коэффициентов.
Ответ: 2/(x−1) + 1/(x−1)². Для повторяющегося линейного множителя берутся все степени, приравниванием коэффициентов получаем A=2, B=1.
Ответ: (x+1)/(x-1)² = 1/(x-1) + 2/(x-1)². Для повторяющегося линейного множителя берутся слагаемые по каждой степени, коэффициенты A=1, B=2.
9x²−12xy+4y² раскладывается как (3x−2y)²: крайние члены — полные квадраты, а средний равен −2(3x)(2y).
x² – 8xy + 16y² представляется в виде (x – 4y)². Проверим, что 16y² — это (4y)², а средний член равен –2·x·4y, и получим полный квадрат разности.
Периметр прямоугольника равен 43 м. При ширине x получаем уравнение x(2x+5)=88, положительный корень — 5,5 м, длина — 16 м.
Периметр равен 40 футов. Складываем выражения: 3x² + 3x - 20, при x = 4 получаем 40. Сначала удобнее привести подобные.
Разность упрощается до 12a²b² − 5ab⁵ — это двучлен шестой степени. Разбираем, почему члены a³b уничтожаются и как степень получается сложением показателей.
Пропущенный элемент частного A = −3, поэтому частное равно x − 3, а остаток 0. Разбираем по шагам, как заполняется каждая ячейка таблицы деления многочленов.
При делении x³+x+1 на x²+2x−3 в столбик получаем частное x−2 и остаток 8x−5. Деление уголком применяется, так как делитель — квадратный трёхчлен.
Ответ: частное x, остаток −6x+5. Деление многочленов с пропущенными членами: x³−4x+5 = x(x²+2)−6x+5.
Положительное значение — x = 30. Приравниваем дроби, получаем x² = 900, значит, x — среднее геометрическое 20 и 45. Оба отношения сокращаются до 2 : 3.
Сумма a+b+c для параболы с вершиной (9, −14) может быть любой, строго больше −14. Это достигается при любом положительном a: a+b+c=64a−14.
Принтер B за 5 часов напечатает 4200 страниц. Принтер A за 5 часов напечатал 1800 страниц, значит, B работает быстрее и за то же время выдаёт 4200 страниц.
Произведение матриц A и B — это матрица с элементами (0, 6, 16), (–7, –2, –3), (–2, 2, 6). Каждый элемент — скалярное произведение строки A и столбца B.
Доказано, что x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y): при раскрытии скобок смешанные члены сокращаются, остаются только x³ и y³.
Тождество верно для любых множеств. Дополнение симметрической разности равно (A∩B) ∪ дополнение(A∪B), а вычитание A∩B∩C распределяем по объединению.
Единственный корень уравнения — x = 1. Завершение квадрата показывает, что оба множителя не меньше 1, а равенство достигается только при x = 1.
Доказывается, что x = 2 — единственный корень: оба множителя приводятся к квадрату с вершиной в x = 2, их произведение равно 1 только при x = 2.
Дискриминант (a-2)²+4 всегда больше нуля, значит, уравнение x²+ax+a-2=0 имеет два различных вещественных корня при любом a.
Ответ: x = 20,568376 или x = 2,190902. Дискриминант равен 3,1777162025, деление на 2a=0,194 увеличивает погрешность округления почти в 10 раз.
Ответ: x = 21,675719 или x = 2,333560. Дискриминант b² − 4ac = 3,52008685 вычисляется без округлений, далее делим на 2a = 0,194.
Решение: x = (1360 ± 105√102)/17, приближённо x ≈ 142,379 и x ≈ 17,621. Дискриминант равен 259096,32, его корень — 509,01505.
Корни: x = (11 − √29)/2 ≈ 2.807 и x = (3 + √13)/2 ≈ 3.303. Разбиваем прямую точкой x = 3, решаем на каждой ветви квадратное уравнение и отбираем подходящие корни.
Ответ: 2 − 2√3 ≤ x ≤ 2 + 2√3. Корни дают f(x) = a(x + 1)(x − 5), минимум −18 в вершине x = 2 даёт a = 2, после чего решаем 2x² − 8x − 10 ≤ 6.
Действительные решения: x = −12 и x = −13. Замена u = x + 4 сводит уравнение к u² + 17u + 72 = 0 — раскладываем на множители и возвращаемся к x.
Решение: x от −1/2 до 2/3 включительно. Произведение положительно между корнями, так как старший коэффициент отрицателен.
Ответ: 3/2 < x < 2. Ведущий коэффициент —2, поэтому выражение положительно только между корнями, а не вне их.
Ответ: x < -1/2 или x > 2. Неравенство 2x²-3x-2>0 решается разложением на множители (2x+1)(x-2) и анализом знаков на промежутках.
Ответ: x ≤ -1/3 или x ≥ 1. Неравенство 3x²-2x-1 ≥ 0 решается разложением на множители: (3x+1)(x-1) ≥ 0, парабола направлена вверх.
Ответ: x=1/2. Трином 4x²−4x+1 — полный квадрат (2x−1)², который не бывает отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при равенстве.
Ответ: решений нет. Квадратный трёхчлен — полный квадрат (2x−1)², а квадрат вещественного числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
Ответ: x ≤ (−8−8√10)/3 ≈ −11,099 или x ≥ (−8+8√10)/3 ≈ 5,766. Троичлен не раскладывается на целые множители, x = 6 не является корнем.
Ответ: m < -6 или m > 2. Возведение -m в квадрат убирает знак, раскрытие скобок с -4 меняет оба знака, получается m^2 + 4m - 12, которое легко разложить.
Решений нет: 3x²−6x+7 < 0 не имеет действительных корней, дискриминант отрицателен (−48), ветви вверх — выражение всегда положительно.
Ответ: [−1, 0] ∪ [2/3, 4]. Раскладываем каждый трёхчлен, решаем неравенства по отдельности, затем пересекаем множества решений на числовой прямой.
Система -x²+3x+4 ≥ 0 и 3x²-5x ≥ 0 решается пересечением интервалов: [-1, 0] ∪ [5/3, 4]. Подробное объяснение решения.
Ответ: x < -2√11363/11 или x > 2√11363/11, примерно ±19,3813. Правая часть равна 19285, делим на 55 и оставляем точную границу в виде дроби.
Ответ: пять случаев для ax² + (1–a)x – 1 < 0. При a = –1 — двойной корень, решение x ≠ 1. Для других a — интервалы зависят от сравнения –1/a и 1.
Ответ: (−∞; 1) ∪ (3; ∞). Корни 1 и 3 делят ось на три промежутка, и произведение двух линейных множителей положительно только вне корней.
Ответ: x < -1 или x > 3. Ветви параболы направлены вверх, произведение положительно вне корней и отрицательно между ними.
Ответ: x < -1 или x > 3. Переносим 3, раскладываем на множители (x - 3)(x + 1) > 0 и отмечаем, что парабола выше оси вне корней.
Ответ: x < 1−√2 или x > 1+√2. Тринадцатичлен не раскладывается на целые множители, поэтому границы находятся по формуле корней квадратного уравнения.
Решение: x ∈ (−1; 3). Тринадцатичлен x²−2x−3 раскладывается как (x−3)(x+1), и парабола меньше нуля только между корнями.
Ответ: x < -1 или x > 5. Разложим x² - 4x - 5 на множители, построим числовую прямую и определим, где произведение положительно.
Решение: −1 < x < 5. Квадратный трёхчлен раскладывается на множители (x−5)(x+1), и парабола с положительным коэффициентом a<0 только между корнями.
Ответ: все действительные x. Дискриминант равен −3, действительных корней нет, а выделение полного квадрата даёт (x + 1/2)² + 3/4 с минимумом 3/4.
Наибольшее возможное значение n равно 14. Из f(x) = a(x − 1)(x + 7) следует b = 6a, поэтому a + b = 7a, а наименьшее допустимое целое a = 2 даёт 14.
Ответ: 7/4 < k < 13/6. Условия знаков f(0) > 0, f(1) < 0, f(2) < 0, f(3) > 0 задают параметр, а произведение корней даёт проверку.
Корни: m ≈ −0.86460, 3.37180, 11.10473, 13.31466. Все четыре корня — действительные, что подтверждается сканированием знаков и проверкой по формулам Виета.
Ответ: вещественных корней нет. Представление через сумму квадратов показывает, что многочлен всегда больше 17/8, все четыре корня — комплексные.
Корни уравнения: u = −1, u = 1 и двойной корень u = 3. Разложение: (u² − 1)(u² − 6u + 9) = (u − 1)(u + 1)(u − 3)².
Ответ: x ≈ 0,0115484893 и x ≈ –0,0115485279. Старший коэффициент огромен, поэтому корни почти равны четвёртым корням из 1210,23/6,804e10 и почти симметричны.
Ответ: x = 947.0356 и x = −1332.1428. Крошечный старший коэффициент не делает слагаемое малым: при x = 1729 член с x⁴ уже около 6079.
Ответ: x = 0.9 точно, а также x = −63.548577, 0.897443, 79.551134. В обеих частях спрятан множитель (0.9 − x), поэтому четвёртая степень сводится к кубической.
Действительные корни уравнения: x ≈ 8,4610649 и x ≈ −0,3736462. Рациональных корней нет, разложение на целые множители невозможно — использован метод Ньютона.
Уравнение x⁴−16x³+66x²−16x−35=0 имеет корни x=1, x=7 и x=4±√21. Решение — подстановка t=x²−8x, приводящая к квадратному уравнению.
Ответ: x = 205/18. Сначала выделяется корень: √(2x-1) = 14/3, затем возводится в квадрат и находится x. Проверка показывает, что корень допустим.
Единственный корень — x = 3. При возведении в квадрат получается x = 0 и x = 3, но x = 0 не подходит по области определения.
Ответ: x = 7/2 или x = -3/2. Подкоренное выражение — полный квадрат, поэтому корень равен 2|x−1|. Модуль даёт ровно два решения.
Ответ: x = 2. После возведения в квадрат получаем -3 = -2x + 1, откуда x = 2. Проверка: x ≥ 1, радикал определён, посторонних корней нет.
Ответ: действительных решений нет. После возведения в квадрат получаем 3x^2-14x+24=0 с дискриминантом -92, значит, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: решений нет. После возведения в квадрат все x сокращаются, и уравнение сводится к неверному равенству 25 = 9.
Ответ: x = 0 или x = 6. Возведение в квадрат безопасно, так как 5 > 0; после сокращения 25 получаем x(x–6) = 0.
Единственный корень — x = 4. После возведения в квадрат получается x² − 4x = 0, но x = 0 не удовлетворяет исходному уравнению и отбрасывается.
У уравнения два решения: x = 0,9 и x ≈ 0,8974432593. Подстановка u = 8,9 − x приводит к корню на границе области определения.
Ответ: m⁸/(256 n⁴⁴). Каждый множитель возводится в –4: (–4)⁻⁴ = 1/256, m⁻² становится m⁸, n¹¹ — n⁻⁴⁴, что уходит в знаменатель.
Диапазон значений z = 6x - 8y равен 0 ≤ z ≤ 22. Используется представление через линейную комбинацию ограничений.
Матрица ранга r представляется суммой ровно r матриц ранга 1, и меньшим числом таких матриц этого сделать нельзя.
Ответ: x : y = 1 : 2. После избавления от /100 и 2/3 уравнение сводится к 12x + 15y = 10x + 16y, что даёт 2x = y.
Ответ — x ∈ (1/4; 4]. Необходимо разбить двойное неравенство на два рациональных, построить числовые схемы и пересечь решения, исключая x = -1.
Ответ: x = 5/3. НОК — x²-4, уравнение сводится к 3x-2=3, а x=5/3 не является запрещённым значением.
Ответ: X = 21/47 ≈ 0,4468. Сначала упрощаются числители, затем выполняется перекрёстное умножение и дробь сокращается по НОД 150.
Ответ: x = (−225 ± 25√161)/2, примерно 46,107 и −271,107. Числитель сокращается до 2500, решается квадратное уравнение x² + 225x − 12500 = 0.
Уравнение не имеет действительных решений, так как дискриминант отрицателен. Комплексные корни: x = (-225 ± 25i√159)/2, x ≠ -100, -125.
Действительных решений нет: числитель сводится к -2500, уравнение x^2+225x+37500=0 имеет отрицательный дискриминант -99375<0.
Ответ: [2/3, 1). Переносим 1, приводим к общему знаменателю: (3x-2)/(1-x) ≥ 0. Не перемножаем на (1-x) — знак меняется при x=1.
Ответ: полуинтервал [1/2; 1). x=1/2 включается, так как 0 подходит под ≥, а x=1 исключается — знаменатель обращается в ноль.
Ответ: x ∈ [−1; 1/2]. Знаменатель всегда положителен, так как дискриминант равен −7. Знак всей дроби определяется только числителем.
Ответ: открытый интервал (−1/2; 4). Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разного знака — это происходит только между корнями.
Решение: −1/2 < x ≤ 2/3. После переноса 1 влево получаем (2−3x)/(2x+1) ≥ 0; левый конец открыт, так как знаменатель обращается в ноль именно там.
Ответ: x < (-3-√37)/2 или 1 < x < (-3+√37)/2. Не умножайте на x-1 — неизвестен знак! Переносим всё в одну дробь и строим таблицу знаков.
Ответ: 1 < x ≤ 2, то есть промежуток (1, 2]. Переносим всё в одну часть, сводим к (6 − 3x)/(x − 1) ≥ 0 и применяем метод интервалов — умножать на x − 1 нельзя.
Решение — интервал (2; 5). Переносим 1 влево и объединяем в (5-x)/(x-2) > 0, не умножая на x-2 с неизвестным знаком.
Решение: x ∈ [−1/2; 0) и отдельно x = 1/3. Квадратный множитель не меняет знак, но даёт отдельную точку равенства.
Ответ: x ∈ ((-1-√409)/6, -2) ∪ ((-1+√409)/6, ∞). Приводим к общему знаменателю, затем исследуем знак выражения (3x² + x - 34)/(x+2).
Решение: (-∞, 1] ∪ (2, 3). Критические точки — 1, 2 и 3; x = 1 включается, x = 2 и x = 3 исключаются. Проверяются интервалы между ними.
Решение: x ∈ (−3; 1]. Общий множитель x−3 сокращается, но x=3 исключается из области определения — устранимая особенность, а не смена знака.
Ответ: 3√6 − 7. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое √3−√2; знаменатель становится 1, остаётся раскрыть скобки в числителе.
Рационализация 17/(2+√11): ответ — (17√11−34)/7. Умножение на сопряжённое 2−√11 превращает знаменатель в −7, минус переносится в числитель.
Ответ: (2√7 − 2√2) / 5. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое √7 − √2, и разность квадратов убирает оба корня сразу.
Корень третьей степени из 7/y упрощается до (корень третьей степени из 7y²)/y. Для этого домножают подкоренное выражение на y²/y², чтобы знаменатель стал y³.
Рационализируем знаменатель: √11/11. Умножаем числитель и знаменатель на √11, получаем 11 внизу. Сократить дробь нельзя.
Ответ: 7√5 + 14. После умножения на сопряжённое знаменатель становится 1, дробь исчезает, результат — без знаменателя.
Уравнение x³ – 5x² – 7x + 41 имеет три вещественных корня: –2,7875545; 3,2205249; 4,5670296. Рациональных корней нет — возможны только ±1 и ±41, но они не подходят.
Ответ: x ≈ 4,98×10⁻⁵, а не ровно 5×10⁻⁵. Правая часть — лишь 1,17% от 8×10¹², что сдвигает x примерно на 0,39%.
Корень уравнения 1/(4x−5) = 1/11 равен x = 4. Приравниваем знаменатели: 4x−5=11, отсюда x=4, что допустимо по ОДЗ.
После отражения f(x)=|x+2|-1 относительно оси Ox и сдвига вниз на 2 единицы получаем f(x) = -|x+2|-1.
После отражения и сдвига получаем f(x)=−|x+2|+1 с вершиной (−2;1). Константа меняет знак и уменьшается на 2, а не просто остаётся отрицательной.
Получаем f(x) = −|x| − 6 с вершиной (0; −6). График лежит ниже оси Ox, максимум −6, корней нет.
Ответ — часть замкнутого круга радиуса 3, лежащая на или ниже y = x + 1. Прямая пересекает круг при x = (−1 ± √17)/2.
Остаток равен 26x − 47. Если f(x) при делении на 2x² − 3x + 4 даёт остаток 2x + 1, достаточно возвести его в куб и понизить степени по правилу x² = (3x − 4)/2.
Ответ: 26x−47. Остаток при делении f(x)^3 на 2x^2−3x+4 равен 26x−47, так как f(x) ≡ 2x+1 по модулю делителя, и достаточно возвести остаток в куб и поделить.
По теореме Безу остаток равен −1: делим x³ − 2 на x − 1 в одно действие, без деления уголком. Разбираем, почему остаток — число, а не многочлен.
27⁻² = 3⁻⁶ по правилу степени степени, значит 3⁸ / 27⁻² = 3⁸ / 3⁻⁶ = 3¹⁴ = 4 782 969. Подробное объяснение перехода и вычислений.
Формула Эйлера разбивает каждую экспоненту на косинус и синус: косинусные части складываются, синусные вычитаются, и получается вид X + iY.
Уравнение с угловым коэффициентом: y = x/4 − 7/4. Раскрываем скобку и складываем 1/4 с −2 по знаменателю 4: наклон равен 1/4, а пересечение с осью y равно −7/4.
Первые три слагаемых образуют полный квадрат (x + 4y)². Член −4z не входит в этот квадрат, если z — произвольная переменная.
Корни уравнения — x ≈ −29,57 и x ≈ 51,86. Малый старший коэффициент делает параболу почти плоской, а корни — сильно удалёнными от вершины x ≈ 11,14.
Ответ: x = 2 и −2 среди вещественных чисел, плюс 2i и −2i среди комплексных. Разложите x⁴ − 16 = (x²−4)(x²+4), затем x² − 4 = (x−2)(x+2).
Скорость туда 50 км/ч, обратно 60 км/ч. Переводим 4 ч 24 мин в 4,4 ч, выражаем оба времени как путь делить на скорость и решаем 220/v = 4,4.
Ответ: 3037. Характеристическое уравнение (r − 2)² = 0 даёт a_n = (A + Bn)2^n, откуда a_2025 = 6 149 925 · 2^2025 и b/c = 6 149 925/2025 = 3037.
19-й член равен 91,66672, значит его целая часть — 91. Разности делятся пополам и меняют знак, а предел равен (a1 + 2a2)/3 = 275/3, а не 2a2 − a1.
Действительные корни: x ≈ ±1,24. После замены y = x² уравнение сводится к кубическому, положительный корень которого y ≈ 1,53.
Четыре вещественных корня: x ≈ 0.00096368, 0.14670508, 0.15345189, 0.22484227, плюс пара комплексных. Разделение близких корней достигается через анализ смены знака.
Ответ: x ≈ 2,982928 и x ≈ -3,152475. Уравнение x⁶+104x⁴+40x³-10000=0 не имеет рациональных корней, оба действительных корня найдены методом бисекции.
Ответ: система несовместна — решений нет. Подстановка даёт значения y = 25/2 и z = -9/2, которые не удовлетворяют одному из уравнений.
kt+xy>ky+tx равносильно (k−x)(t−y)>0, то есть k−x и t−y должны иметь одинаковый знак.
x³ + x² + 2x + 1 не имеет рациональных корней и не раскладывается на множители над Q.
Ответ: наибольшего m не существует, так как выражение y/x + 1/y не ограничено сверху при 3x + y = 1 — оно стремится к +∞ при x → 1/3⁻.
Ответ: [2; 5] объединение {10}. Чётные степени не меняют знак, поэтому важны только (x-2)^3 и (x-5)^3; точка x=10 входит, так как произведение равно нулю.
Дробь положительна на интервалах (−∞, 0) и (2/3, 1). Числитель меняет знак при 2/3, знаменатель — при 0 и 1. Все концы интервалов не включаются.
Ответ: 0,6x + 0,2. Это форма взвешенного среднего: смешивание доли x по 0,8 и остатка по 0,2 даёт линейный рост результата по x.
Ответ — 1/a. Числитель — полный квадрат (1 − √(b/a))² = (√a − √b)²/a, общий множитель (√a − √b)² сокращается, остаётся 1/a при a > 0, b ≥ 0, a ≠ b.
Ответ: 6π / (π + 4). В числителе и знаменателе выделяется общий множитель 32π, после сокращения остаётся 6π / (π + 4), далее не сокращается.
Ответ: −x²y + 7xy. При раскрытии скобок −3 умножается на оба слагаемых, превращая −xy в +3xy — часто встречающаяся ошибка при решении.
Ответ: 7y⁵/(4x³). Сокращаем 28/16 до 7/4, вычитаем показатели: x⁻³ и y⁵, затем x⁻³ переносим в знаменатель.
Ответ: a²b − ab² + b² − 2b. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри, затем подобные приводятся.
После приведения подобных слагаемых выражение упрощается до 3x³ + x² + 2x − 6. Складываются только кубические члены, остальные остаются без изменений.
Ответ — (x+3)/(x+1). Числитель раскрывается в x^2+x−6, затем разлагается на множители (x+3)(x−2), после чего (x−2) сокращается с знаменателем.
Ответ: (√3⋅∛4)/4. Из √12 выносится 2, из ∛54 — 3. Для рационализации умножаем на ∛4/∛4, чтобы получить рациональный знаменатель.
Ответ: 3⁵ = 243. Представим все множители как степени 3, сложим и вычтем показатели: 22 − 17 = 5. Значит, итог — 243.
Ответ: 3a, при a ≠ 0. Коэффициент выносится, показатели вычитаются: a²/a = a¹. Указываем, что исходное выражение определено только при a ≠ 0.
Ответ: 12x + 5. Сначала раскрываются скобки, получается 12x + 20, затем складываются только числа: 20 и −15 — это подобные слагаемые.
Ответ: 4d/a⁹. Складываем показатели -10 и 1, получаем a⁻⁹. Отрицательный показатель означает, что множитель переходит в знаменатель.
Ответ: 15 − 8i. Первый корень даёт 15, а √(−64) преобразуется в 8i через i = √(−1); −8 здесь ошибочен.
Ответ: 57x − 40. Сначала раскрываются скобки по распределительному закону, затем складываются подобные слагаемые 45x и 12x.
Ответ: −3x² + 34x − 13. Раскрываем скобки, приводим подобные: 5x² − 8x² = −3x², 2x + 32x = 34x, −1 − 12 = −13.
Ответ: 3x + 12. Сначала раскрывается скобка: 6(x + 2) = 6x + 12, затем приводятся подобные: 6x - 3x = 3x.
Ответ: 6(x−1)/(x(x²+10x+1)). В числителе выносится 6, в знаменателе — x, скобки раскрываются до x²+10x+1. (x−1) не делит знаменатель, дробь несократима.
Ответ: 3(x−y)²(x+y). Куб меняет знак, так как y−x=−(x−y). После этого 3(x−y)² выносится за скобку как общий множитель.
Ответ: 77x⁵y². Перемножаются коэффициенты, складываются показатели одинаковых оснований: три x и x² дают x⁵, два y — y².
Ответ: 13f + 12. После раскрытия скобок и приведения подобных: 7f + 28 + 6f − 16 = 13f + 12.
Результат упрощения (7y-3z)-3(2y-z) — это просто y. После раскрытия скобок z исчезает, а 7y-6y даёт y.
Ответ: 27y − 109. Сначала раскрываются внутренние скобки: 8 − 9[13 − 3y], затем −9 распределяется по каждому слагаемому, получая 27y − 109.
Ответ: 52y – 11. Сначала раскрываются скобки, затем приводятся подобные: 40y – 32 + 12y + 21, после чего складываются y- и числовые слагаемые.
Выражение 8(x²−2y²)−x(7x+y)+xy упрощается до x²−16y², что раскладывается на множители как (x−4y)(x+4y).
Ответ: 2a/b. Делим коэффициенты 8/4=2, затем по правилу деления степеней: a^(2-1)=a, b^(1-2)=b⁻¹, то есть b уходит в знаменатель.
Упрощение 9(m+n)²-(m-n)² даёт 8m²+20mn+8n²=4(m+2n)(2m+n). Представление 9(m+n)² как (3m+3n)² позволяет записать всё как разность квадратов.
После разложения всех многочленов и сокращения получаем (y−4)/(y+1). Исключены значения y = −1, −1/2, 1/3, 4.
Результат: 2(x+1)(x^3-2x^2-3x-2). После сокращения x+3 и вынесения x+1 получаем окончательно приведённую форму.
Выражение (x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2+2(x+1)^3 упрощается до 8x^2+12x+4=4(x+1)(2x+1) — все кубические члены сокращаются.
Скобка сводится к −8a/(a²−4). Деление на 12a²/(4−a²) — это умножение на (4−a²)/(12a²), противоположные квадратные выражения сокращаются, остаётся 2/(3a).
Скобка сводится к 4t, первая дробь — 32t/(1-t²)², итог — одна дробь: (32t(1+t²)²-10(1-t²)³)/((1-t²)²(1+t²)²).
Ответ: (x-y)²(x+y)(x+y-1). (y-x)² и (x-y)² равны, поэтому общий множитель — (x-y)²(x+y), остаётся скобка (x+y)-1.
Ответ: (a+2b)². После раскрытия скобок и приведения подобных, выражение (a-2b)²+8ab превращается в полный квадрат (a+2b)².
Всё выражение равно 1. Знаменатель — полный квадрат (√a+√b)², числитель — разность квадратов √a и √b.
Ответ: 2 − a − 2b. Внутренняя скобка превращается в (2a+b)/(a+b), её обратная дробь сокращает (a+b) и (2a+b).
Ответ: (a - x²)/x при x ≠ 0. Переписываем x как x²/x, приводим к общему знаменателю и вычитаем числители.
Ответ: 6√3·x^(62/21) / (35·y^(3/2)). Все радикалы заменяются дробными степенями, коэффициенты собираются, показатели складываются по основаниям.
Ответ: 1/(x²⁰y²⁴z¹²). Сначала показатели в скобках вычитаются, затем умножаются на -2 и переходят в знаменатель.
Дробь (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸)/(2¹⁰ + 5·2⁹) равна 1/2. Вынесение 2⁸ в числителе и 2⁹ в знаменателе даёт 7·2⁸/7·2⁹, сокращение приводит к 2⁻¹ = 1/2.
Верный ответ — p⁸/(m⁹n¹⁰). Для этого вычитаем показатели в числителе и знаменателе по каждому основанию и переносим отрицательные степени.
Ответ: m⁸ / (256 n⁴⁴). Сначала делим внутри скобки и получаем −4m⁻²n¹¹, затем возводим каждый множитель в степень −4; чётная степень делает знак положительным.
Ответ: (b² + b√b + 2b − 3√b + 1)/(b + √b − 1). Отрицательную степень убираем, подставляем x=√b, сокращаем x+1, затем прибавляем 2√b.
Любое ненулевое выражение в нулевой степени даёт 1. Поэтому (4a⁻⁸b²/12a⁷b⁻⁴)⁰ = 1 при a ≠ 0, b ≠ 0.
Всё выражение сворачивается в a⁴b. Выносим ab за скобку, применяем формулу суммы кубов, раскрываем скобки — и слагаемые с ab⁴ взаимно уничтожаются.
Ответ — ∛(ab)/(∛a+∛b). Подстановка x=∛a, y=∛b превращает знаменатель в (x+y)²/(xy), после сокращения получается xy/(x+y).
Выражение упрощается до 3x: объединяем корни, сокращаем 729x⁶/3x до 243x⁵, замечаем, что это (3x)⁵, и извлекаем корень.
Ответ: (L²−R²)/(H+R) = ((L−R)(L+R))/(H+R). Сокращение возможно только при H=L, тогда результат — L−R.
Ответ — 9x − 8 (вариант А). Раскрываем скобки, приводим подобные, проверяем на трёх значениях x.
Ответ: f(x) = −x − 289/x, x ≠ 0. Дробь разбивается на два слагаемых, сокращается x, указывается область определения.
Ответ: −80v + 40 или 40(1−2v). Раскрываем скобки, приводим подобные: получаем −80v и свободный член 40.
Ответ: −125b²⁴/a¹⁸. Сначала сокращается выражение в скобках по правилу деления степеней, затем коэффициент и показатели возводятся в куб.
Ответ: −243x¹⁰y²⁰. Каждый множитель в (−3x²y⁴)⁵ возводится в пятую степень: (−3)⁵ = −243, показатели 2 и 4 умножаются на 5.
Ответ: −9q + 11r. При раскрытии двух скобок с минусом знаки всех членов меняются, затем приводятся подобные.
Всё выражение сворачивается просто в a. Приводим каждую скобку к знаменателю a+b, переворачиваем вторую из-за степени −1, сокращаем и вычитаем оставшееся 3b.
Ответ: 4 − √3. Умножаем √2 на скобку: 2√12 − √16 = 4√3 − 4, затем 3√3 − (4√3 − 4) = 4 − √3, не забывая сменить знак у −4.
Ответ: 3x√7. Объединяя под одним корнем, получаем √(63x²); 63 = 9×7 даёт множитель 3, x² — множитель x.
После упрощения и избавления от иррациональности в знаменателе выражение равно −√3 + 2√5, значит a = −1, b = 2 и a + b = 1.
Ответ: 2x⁵√6x. Радикалы объединяются, деление под корнем даёт 24x¹¹, затем выносится 4 и x¹⁰ как полные квадраты.
Три части равны 17, 7 и 24, поэтому всё выражение обращается в 0. Важно: √((−7)²) = 7, а не −7, и (−2√6)² = 24, а не −24.
При a ≥ 0, a ≠ 1 выражение (√a + 1)/(a − 1) упрощается до 1/(√a − 1) через разложение знаменателя на множители.
Упрощённая форма: x√x. x³ представляется как x²·x, применяется правило √(ab)=√a·√b, затем √(x²)=x, так как x неотрицательно.
Выражение сворачивается до −4x² + 12x = 4x(3 − x). Замена последнего слагаемого 2(x + 1)³ на 2(x − 1)³ меняет ответ полностью: было 8x² + 12x + 4.
Результат: 2|xy|√(5z)/z³. Выносим чётные степени, оставляем модули у переменных под чётным корнем и избавляемся от √z в знаменателе.
Упрощённый вид — 9|x|√5. Раскладываем 405 = 81 · 5, разбиваем корень на множители и сохраняем модуль, потому что √(x²) равно |x|, а не x.
Упрощённый вид — 2i√35. Сначала выносим мнимую единицу и получаем i√140, затем раскладываем 140 = 4 · 35 и выносим корень из 4 за знак радикала.
Ответ: −2a² + 7a/10. Слагаемые с a² дают 1 − 3 = −2, а для слагаемых с a нужен общий знаменатель: 3/2 − 4/5 = 15/10 − 8/10 = 7/10.
Выражение тождественно равно 64. Обозначив a = 3x²+4 и b = 3x²−4, получаем (a−b)², а a−b = 8, поэтому все степени x из ответа исчезают.
Упрощённый вид: 0.055x − 3010. Раскрытие скобки даёт 78000 × 0.055 = 4290, а 1280 − 4290 оставляет свободный член −3010. Наклон при этом не меняется.
Ответ: 2x² + 3x + 17. Кубические слагаемые взаимно уничтожаются, а разность квадратов даёт −x² + 16, поэтому в итоге остаётся лишь квадратный трёхчлен.
Ответ: 1.76566975(x + 1). Повторяющиеся множители сводим к 1.15² и 1.3², перемножаем константы в один коэффициент, а скобки раскрываем лишь при нужде.
Всё выражение сводится к 36x. Раскрываем оба куба, слагаемые с x² попарно уничтожаются, произведение с −3x считаем отдельно, и все кубы исчезают.
Результат: x² − 6. После раскрытия скобок получаем x² − x − 6, и отдельное +x полностью гасит −x, так что линейного члена не остаётся вовсе.
Всё выражение сворачивается в постоянную 25. Узнаём формулу A² + B² − 2AB = (A − B)², вычитаем скобки и видим, почему все степени x сокращаются.
Ответ: 0 при любом x. Раскрытие (x+4)² даёт ровно x² + 8x + 16, поэтому скобка вычитает тот же трёхчлен почленно и все слагаемые уничтожаются.
После раскрытия скобок получаем x² − y² + 4y − 4, что перегруппируется в x² − (y−2)² и раскладывается на (x−y+2)(x+y−2) — внутри спрятана вторая разность квадратов.
Результат — x² − 2y. Первое произведение сворачивается по формуле разности квадратов в x² − y², а −y² сокращается с +y², которое даёт раскрытие y(y − 2).
Результат: x²/4 − 3x√5 − 15. Возведение скобки в квадрат даёт x²/4 + x√5 + 5; после умножения на 3 и вычитания от x² остаётся лишь четверть.
Дробь сокращается до x − 3 при x ≠ −3. Разложение x² − 9 = (x − 3)(x + 3) открывает общий множитель, но исходное выражение при x = −3 не определено.
Раскрытие скобок с −3 даёт −3x² − 3xy + 6y, поэтому три группы слагаемых сворачиваются в −2x², −4xy и +7y. Следите за произведением −3 · (−2y) = +6y.
Ответ: x² + 10. Степень 3² — это просто число, а не слагаемое с переменной, поэтому она превращается в 9 и складывается с 1, а x² остаётся отдельно.
Результат: (x+5)/(x+2) при x ≠ 2 и x ≠ −2. Раскладываем оба трёхчлена, сокращаем общий множитель (x−2) и сохраняем оставленное им ограничение.
Результат — x^(−ab), то есть 1/x^(ab). Правило степени в степени перемножает показатели, а знак минус переносит всё выражение в знаменатель.
Угловой коэффициент m = −8. Разность ординат равна −8, разность абсцисс равна 1; крутое отрицательное значение означает спуск на 8 единиц за шаг вправо.
Угловой коэффициент m = 2. Подстановка в (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) даёт (4 − (−4))/(6 − 2) = 8/4, где двойной минус в числителе превращается в сложение.
Угловой коэффициент m = 1. По формуле (7 − 5)/(10 − 8) = 2/2 = 1: приращения по y и по x равны, поэтому прямая наклонена к оси x под углом 45°.
Ответ: m = −1/3. Приращение по y равно +1, по x равно −3, поэтому минус берётся только из знаменателя, а не из отрицательных координат точек.
Ответ: 17. Вносим двойку под логарифм, снимаем log по основанию 5 > 1, слагаемые с x сокращаются, остаётся 28 < 7√x, откуда x > 16.
Числа равны 31, 32 и 33, наименьшее — 31. Обозначаем первое за x, решаем 3x + 3 = 96 и получаем x = 31 — это сразу и есть искомая величина.
Единственное решение — точка (4, 0). Замена u = x − 2 даёт 2/u + 3 = 2|u|; при u > 0 получаем u = 2, а при u < 0 вещественных корней нет.
Корни −1/2 и 1/3 дают p = 1/6 и q = −1/6. После подстановки второе неравенство превращается в x² − x − 6 < 0, и множество решений — интервал (−2; 3).
x = 87870/0,30 = 292900 точно. Одинаковые слагаемые дают 0,30x, а поскольку 878700 делится на 3, ответ оказывается целым числом без округления.
x = 963. Записав 0,6 как 27/45, а 5/9 как 25/45, видим, что коэффициенты при x отличаются лишь на 2/45, поэтому разрыв 42,8 усиливается в 22,5 раза.
x = 52500. Делим на 0.8: 1 + x/10000 = 6.25; вычитаем 1: x/10000 = 5.25; умножаем на 10000. Проверка: 0.8 · 6.25 = 5 без округлений.
x = 87870/1.7 = 878700/17 ≈ 51688.24 с округлением до сотых. Два одинаковых слагаемых дают 1.7x, а точное частное 51688 + 4/17 не имеет конечной записи.
Ответ: x = 2,505,589.39. Делим правую часть пополам, получаем 1,625,000, сворачиваем 0.85, 1.09 и 0.7 в один множитель 0.64855 и делим на него.
Ответ: x = 2 063 426,56. Правая часть сводится к 1 625 000, три множителя сворачиваются в 0.787525 — цепочка из двух скидок и одной наценки.
Ответ: x = 2500/39 ≈ 64.103. Деление на 0.78 — это умножение на 50/39, что даёт точное значение вместо округлённой десятичной дроби.
Ответ: x = 100. Деление на 0,8 сразу даёт x + 100 = 200 в одно действие — это быстрее и аккуратнее, чем умножать 0,8 на каждое слагаемое в скобке.
Ответ: x = 325. Прибавляем 100 к обеим частям и получаем 0,8x = 260, затем делим на 0,8 — или умножаем на 5/4, ведь 0,8 — это обыкновенная дробь 4/5.
Ответ: X = 1900. Сначала прибавляем 1200 и получаем 0,8X = 1520, затем делим — а деление на 0,8 равносильно умножению на 1,25, поэтому число растёт.
Ответ: x = 800. Прибавив 400, получаем 0.8x = 640, а так как 0.8 = 4/5, умножение 640 на 5/4 даёт результат без деления на десятичную дробь.
Ответ: x = 2254. Члены с x отличаются лишь на 0.01x, поэтому 22.54 делится на 0.01 — разрыв в один процент увеличивает корень в сто раз.
Ответ: C = 1.35 + 0.15B и B = (C − 1.35)/0.15. Чтобы выразить C, прибавьте 0.15B; для B перенесите C, разделите на −0.15 и проследите за знаком.
Ответ: X = 225. Раскрываем скобку до 1.8X + 180, приводим подобные и получаем 0.8X − 20 = 160, прибавляем 20 к обеим частям и делим на 0.8.
Решение: x > −2. Умножение на 6 превращает неравенство в 6 − 3(x + 6) < 2(2x + 1), а после приведения подобных остаётся −14 < 7x.
x = −175.86. Так как 2.7421 больше 2.7, разность обратных величин отрицательна: 1/x = −0.0421/7.40367, поэтому и сам x обязан быть отрицательным.
x = 16.2196, а не 16.2214. Выражаем 1/x как (3.3 − 2.7421)/(2.7421 × 3.3) = 0.5579/9.04893 и переворачиваем это единственное частное.
Ответ: x = 17.7272. Выразив 1/x, получаем (3.3 − 2.7821)/(2.7821 × 3.3) = 0.5179/9.18093, и обратная к этой дроби величина сразу даёт ответ.
x = 1. Если две дроби с единицей в числителе равны, а знаменатели не равны нулю, то знаменатели совпадают: 3x + 11 = 9x + 5, и обе части равны 14.
Ответ: x = −1,3. Переход к обратным величинам даёт 6x + 8 = 0,2, откуда 6x = −7,8; корень не совпадает с недопустимым значением x = −4/3 и проходит проверку.
Решение: y = x/(8x − 1), где x ≠ 0 и x ≠ 1/8. Приведение к общему знаменателю даёт x + y = 8xy, после чего y выносится за скобку.
Решение: x = 1, y = −1/2. Замена a = 1/x и b = 1/y превращает нелинейную систему в обычную линейную, которая решается методом подстановки в две строки.
Оба знаменателя сводятся к x² + 4x плюс константа, поэтому замена v = x² + 4x даёт v² + 8v + 7 = 0. Действительные корни даёт только v = −1: это −2 ± √3.
Так как x(x + 2) = (x + 1)² − 1, замена u = (x + 1)² даёт 1/(u − 1) − 1/u = 1/12, то есть u² − u − 12 = 0. Годится только u = 4, откуда x = 1 или x = −3.
Ответ: x > 2, то есть промежуток (2; +∞). Умножаем на положительное 3, получаем 1 + x < 3x − 3, приводим подобные — остаётся 4 < 2x.
Ответ: x = 0 и x = 0,0156549. Очевидный корень x = 0 виден сразу, а единственный минимум в точке x = 0,0079085 доказывает, что корней ровно два.
Ответ: x = 0.9. Умножение на 1 ничего не меняет, поэтому уравнение сводится к 1 − x = 0.1 — оно линейное и имеет ровно один корень.
Решение: x < 5. Переносим переменные в правую часть, чтобы коэффициент остался положительным, тогда деление на 2 не меняет направление неравенства.
Оба знаменателя дают x² + 6x плюс константа, поэтому замена u = x² + 6x приводит к 12/(u+5) + 15/(u+8) = 2, то есть к 2u² − u − 91 = 0 с u = 7 или −13/2.
x = 104022.99. После раскрытия скобки с 13 % уравнение сводится к 139732000 = 1343.28x, и остаётся одно деление, когда все x собраны слева.
Ответ: x = 103254.32. Вне скобок с x стоит только 2.72x, после приведения подобных коэффициент равен 1353.28, и задача заканчивается одним делением.
Ответ: x = 12 110,83. Считаем 12812 × 1.0398 = 13 321,9176, избавляемся от знаменателя: 13 321,9176 = 1,1x, и делим на 1,1, снимая наценку в 10%.
Корни: x = 0, x = 1 и x = −4/3. Сначала приводим подобные кубические слагаемые, выносим общий множитель 4x, затем раскладываем трёхчлен 3x² + x − 4.
Решение: x = 13. Складываем числитель и получаем 169, умножаем обе части на x, приходим к 13x = 169 и делим на 13, так как 169 = 13².
Ответ: x = 96/7, примерно 13,714. После сложения получаем 192/x = 14, а дробь 192/14 нужно сократить на общий множитель 2 до несократимого вида.
Ответ: t = 8. При умножении −4 на (t − 5) получается +20, а не −20 — именно на этом знаке чаще всего и ломается решение этого уравнения.
Ответ: x = 6960. Сначала складываем в числителе и получаем 348/x = 0.05, затем умножаем крест-накрест: делить на 0.05 — то же самое, что умножать на 20.
Решение — любое действительное число. После раскрытия скобки со знаком минус обе части сводятся к 8x + 2, то есть равенство является тождеством.
Ответ: x = 317/7.8 = 1585/39 ≈ 40,64. Сначала складываем числитель, потом умножаем крест-накрест; десятичная запись ответа бесконечна и периодична.
Ответ: x = 3200/3 ≈ 1066.67. Записываем 1.5 как 3/2 и умножаем 1600 на обратную дробь 2/3; десятичная запись периодическая, поэтому точна именно дробь.
Ответ: x = 202,31 (точно 176,0096/0,87). Упрощаем константу до 176,0096, собираем слагаемые с x в 0,87x и делим, получая полную сумму.
Ответ: x = 202 309 885,06. Считаем константу 176 009 600, переносим 0,13x влево и получаем 0,87x, затем делим на 0,87 и раскручиваем базу до полной суммы.
Ответ: x = 16939/1,923 = 8808,63. Умножение на x и прибавление x дают 16939 = 1,923x — это замаскированное правило x = целое / (1 + отношение).
Ответ: [−4, −3) ∪ (1, 2]. Внешнее неравенство даёт два луча, внутреннее — полосу, а их пересечение оставляет два коротких промежутка.
x = −52/5, то есть −10.4. Умножение на x + 10 даёт 2 = −5x − 50, после чего корень сверяется с исключённым значением x = −10 и только затем принимается.
Ответ: k = mg·tg α / (4π²(R sin α − a)). Выносим 2πk за скобку в левой части и делим на неё; два множителя 2π дают в знаменателе 4π².
Решение: x = −3. Левая часть — чистая арифметика: 5 − 8 = −3 и 2 + (−3) = −1, значит −1 = 2 + x, и вычитание 2 из обеих частей даёт x = −3.
Здесь x² + 1/x² = t² + 2 (именно ПЛЮС 2), поэтому уравнение сводится к 2t² − 11t + 12 = 0 с t = 4 или 3/2, что даёт четыре корня: 2 ± √5, 2 и −1/2.
Ответ: x ≈ 1,71562. Показательное и линейное слагаемые вместе не дают решения в замкнутом виде, поэтому корень зажимаем между 1 и 2 и уточняем делением пополам.
Ответ: x ≤ 0 или x ≥ 2, причём x ≠ 3. Замена t = 2ˣ превращает второй знаменатель в полный квадрат (t − 8)², а неравенство — в (u + 4)(u + 7) ≥ 0.
Ответ: x = 10. После раскрытия скобок 320 − 20x = 240 − 12x, откуда 80 = 8x; если убрать по 10 из каждой скобки, обе взвешенные величины уравняются на 120.
Ответ: x = 5/7. Раскрытие скобки превращает −(4x + 2) в −4x − 2, откуда 16x − 4 = 6 + 2x, значит 14x = 10, а дробь 10/14 сокращается до 5/7.
Ответ: x = 10/3, это примерно 3.33. После приведения подобных получаем 30x = 100, а дробь 100/30 нужно сократить на 10, а не оставлять как есть.
Ответ: x = 121/2, ровно 60.5. Приводим подобные и получаем 30x = 1815, затем сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель 15.
Решение: x = 200/3 ≈ 66,67. Приведение подобных даёт 30x = 2000, а дробь 2000/30 сокращается до 200/3 — точной десятичной записи у неё нет.
Корни: x = (−34 + √2941)/21 и x = (−34 − √2941)/21. Целых чисел с произведением −1785 и суммой 68 нет, поэтому нужна формула корней квадратного уравнения.
Ответ: X = −10,26. Упрощаем коэффициент до 500/27, вычитаем 2210 и получаем 190 = −(500/27)X; минус сохраняется, потому что 2400 больше 2210.
Ответ: x = 16. Складываем числитель, получаем 400/x = 25, затем избавляемся от знаменателя: ответ показывает, сколько частей по 25 укладывается в 400.
Ответ: t = 20. После вычитания 100t остаётся 150t = 3000, то есть более быстрому темпу нужно 20 единиц времени, чтобы отыграть фору в 3000.
Ответ: x = 5120/3 ≈ 1706.67. Так как 1.5 = 3/2, деление на 1.5 равносильно умножению на 2/3, и ответ остаётся точной периодической дробью.
Корни: x = (−1 + √7)/5 и x = (−1 − √7)/5. Дискриминант равен 700, а вынесение √100 превращает 10√7 на 50 в сокращённую форму.
Действительные корни: x = ±√((√5 − 1)/5) ≈ ±0,497. Замена u = x² даёт u = (−1 ± √5)/5, а отрицательное значение u приводит к двум мнимым корням.
Ответ: x = 2/3, корень кратности три. Левая часть — это в точности (3x − 2)³, ведь 27x³ = (3x)³, 8 = 2³, а средние члены дают −3a²b и +3ab².
Ответ: x = 216.809. Дробь 0.05/0.95 сокращается ровно до 1/19, уравнение сводится к 228.22 = (20/19)x, откуда x = 228.22 × 19/20.
x = 298/13 = 22.9231. Приведение подобных даёт 1.3x = 29.8, а избавление от десятичных показывает точное значение 298/13 — бесконечную периодическую дробь.
Ответ: x ≈ 281,46. После приведения подобных получаем 1,01543461x = 285,8, ведь дробь комиссии 0,0152/0,9848 — это просто ещё один коэффициент при x.
Ответ: x = 294,9308, а не 111,241, как иногда пишут. Два множителя 1,52 % перемножаются, поэтому коэффициент при x равен лишь 0,00023461 и x почти не отходит от 295.
x = 2981/5,3043 = 562,00. Прибавив x к обеим частям, получаем 2981 = 5,3043x, откуда x = сумма/(1 + отношение); остаток 2419,00 ровно в 4,3043 раза больше x.
Ответы: x = 1 и x = 2. Прямая пересекает выпуклую показательную кривую не более двух раз, поэтому после двух найденных целых корней поиск доказуемо завершён.
Корни: x = 1 и x = 1/3. Узнаём в (2x − 1)² − x² разность квадратов a² − b², раскладываем на (x − 1)(3x − 1) и приравниваем множители к нулю.
Ответ: x = 1/2 или x = −7/3. Уравнение уже разложено на множители, поэтому приравниваем к нулю каждую скобку и решаем два линейных уравнения.
Ответ: x ≤ 4, то есть (−∞; 4]. Прибавляем 3, снимая вычитание, затем делим на положительное 2 — направление неравенства при этом не меняется.
Корни: x = 2 и x = 4/3. Оба слагаемых уже квадраты, поэтому разложение (A − B)(A + B) сразу даёт линейные множители x − 2 и 3x − 4.
Ответ: x < 51/28 ≈ 1.8214. Умножение каждого слагаемого на НОК 12 убирает обе дроби сразу и превращает неравенство в 24x − 15 < 36 − 4x.
Решение: x > −1/2. Умножение на НОК 12 убирает обе дроби сразу, а поскольку 12 положительно, знак неравенства нигде не меняется.
Решение: x > −4. После раскрытия скобок члены с x собираются справа и дают −4 < x, а затем это же читается наоборот — с переменной впереди.
Ответ: x < 7/10. Переносим слагаемые с x влево, дроби вправо и складываем 1/2 и 1/5 по общему знаменателю 10.
Ответ: x ≤ 0. Перед скобкой стоит минус, поэтому оба слагаемых внутри меняют знак: получается 2x − x + 1, что сводится к x + 1 ≤ 1.
Ответ: x > 5. Вычитаем x и получаем x + 1 > 6, затем вычитаем 1; при x = 5 обе части равны 11, поэтому граница верно исключается.
Ответ: x > 6. Вычтем x из обеих частей — останется x + 1 > 7, затем вычтем 1; деления на отрицательное число нет, поэтому знак неравенства не меняется.
Ответ: x = 72.3. Считаем 13 × 18 = 234 и 6 × 4.4 = 26.4 ещё до переноса слагаемых, и уравнение за один шаг сводится к 2x + 260.4 = 405.
Ответ: x = 4. Вычитаем 2 из обеих частей и получаем 2x = 8, затем делим на 2; именно порядок «сначала сложение, потом умножение» всё упрощает.
Решение: x = −μ/(2(1 + λ)) при λ ≠ −1. При λ = −1 слагаемые с x взаимно уничтожаются: решений нет, а если μ = 0, подходит любое x.
Решение x = −μ/(2(1 + λ)) при λ ≠ −1. Если λ = −1, слагаемые с x исчезают: при μ = 0 подходит любое x, а при μ ≠ 0 решений нет.
Ответ: x = 2. После раскрытия (2x + 3)² слагаемые 4x² уничтожаются, и уравнение, выглядевшее квадратным, сводится к линейному 12x + 9 = 51 − 9x.
Решение: x = 2, y = 1. Из второго уравнения выражаем x = y + 1, подставляем в первое и получаем 5y + 2 = 7, а затем обратной подстановкой находим x.
Решение: x = 4. Вычитаем 5 из обеих частей — получаем 2x = 8, делим на 2 и находим x = 4; подстановка возвращает ровно 13, как и требовалось.
Ответы: x = (1 + √3)/2 и x = (1 − √3)/2. Дискриминант 12 не является точным квадратом, поэтому корни иррациональны и разложить на множители не выйдет.
Корни: x = 1 и x = 3/2. При старшем коэффициенте 2 разбиваем −5x на слагаемые, произведение которых равно 2 · 3 = 6, а сумма −5: это −2 и −3.
Корни: x = 3 и x = −5/2. Ищем два числа с произведением ac = −30 и суммой −1 (это 5 и −6), расщепляем средний член и группируем.
Корни: x = 2 и x = −3/2. Ищем два числа с произведением ac = −12 и суммой −1: это 3 и −4. Разбиваем −x на 3x − 4x и группировкой получаем (2x+3)(x−2).
Ответ: x < −1 или x > 1/2. Разложение 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1) сразу даёт корни, а парабола ветвями вверх положительна вне этих корней.
Ответ: y ≤ (40 − 3.8x)/7.7, то есть примерно y ≤ 5.19 − 0.49x. Деление на положительное 7.7 сохраняет знак, поэтому область лежит ниже граничной прямой.
Ответ: x > log₄(3 × 10⁹) ≈ 15,74, наименьшее целое — 16. Так как 4ˣ всегда положительно, знак неравенства нигде не меняется.
Ответ: x = −10/7 ≈ −1.4286. Раскрытие −2 перед (2 − 5x) даёт −4 + 10x, поэтому уравнение превращается в 3x − 9 = 1 + 10x, откуда −10 = 7x.
Ответы: ровно x = 27 и приближённо x ≈ 1.15082. Логарифмирование сводит задачу к ln(x)/x = ln(3)/9 — эта кривая пересекает горизонтальную прямую дважды.
Решение: x < 0.0000020000004 или x > 14.3704368. Выпуклая функция 3^x − 500001x лишь один раз опускается ниже нуля, поэтому прямая пересекается дважды.
Ответ: x = 5 + 3^(49/32), примерно 10,3776. Выделяем логарифм, переходим к показательной форме и проверяем, что x > 5, иначе логарифм не определён.
Ответ: x = 5.455/32.63, примерно 0.16718. Сначала вычитаем свободный член, затем делим — всего два действия, избавляться от десятичных дробей не нужно.
Ответ: x = 10.455/32.63 = 0.32041, что округляется до 0.3204, а не до 0.3203. Пятый знак после запятой равен 1, поэтому четвёртый остаётся без изменений.
Решение: X = 27. Перемножение крест-накрест даёт 3150 + 54X = 7200 − 96X, откуда 150X = 4050; обе части исходного равенства тогда равны 32.
Решение: −1 < k < 1. Делим на положительное 36, остаётся 1 − k² > 0; неравенство k² < 1 означает, что k отстоит от нуля строго меньше чем на единицу.
x = 1800 + 900√7 = 4181,18 или x = 1800 − 900√7 = −581,18. Дискриминант 22680000 равен (1800√7)², поэтому оба корня записываются красиво.
Корни: a = −3 и a = −5. Переносим −45 влево, делим всё уравнение на общий множитель 3, а затем раскладываем a² + 8a + 15 на (a + 3)(a + 5).
Корни: x = 0, x = −2 (двукратный) и x = 4/3. Группировка на этом уравнении не срабатывает; верное разложение даёт рациональный корень x = −2 и деление.
Единственное решение: x = 4/9. Оба произведения содержат 9x², поэтому при раскрытии квадратные члены сокращаются и уравнение оказывается линейным.
Ответ: целых решений нет; действительные корни x = 8 ± ⁴√14/3, примерно 8.6448 и 7.3552. Деление на 7³ даёт (3x − 24)⁴ = 14 — не точная степень.
Ответ: x ≥ 1. Сложение коэффициентов 3 и −2 оставляет один x, поэтому неравенство сводится к x − 1 ≥ 0 и решается ещё за один шаг.
Решение: x > 1. Раскрываем скобку: 2(x − 2) = 2x − 4, вычитаем 2x из обеих частей, и оставшийся одиночный x делить уже не нужно, поэтому знак не меняется.
Ответ: x = 3, корень двукратный. При замене u = 3x − 5 уравнение принимает вид u² − 8u + 16 = (u − 4)² = 0, откуда u = 4 и 3x = 9.
Корни: x = (5 + √43)/3 и x = (5 − √43)/3. Умножение на x превращает дробно-рациональное уравнение в квадратное 3x² − 10x − 6 = 0.
Ответ: x > 15. После вычитания 2x коэффициент при x равен ровно 1, поэтому достаточно перенести число 15 — и ответ читается сразу.
Ответ: x < 4. Умножение на 4 даёт 3x + 4 > 8x − 16, а сбор слагаемых справа позволяет ни разу не делить на отрицательное число.
Ответ: x = 10, а не 25/3. Справа получается 35, поэтому 3x = 30 — одинаковые свободные члены в обеих частях сокращаются и в деление не попадают.
Ответ: x = −7, и это единственное решение. Правая часть не бывает положительной, поэтому 3x + 5 ≤ 0 даёт x ≤ −5/3, и проверять нужно лишь один случай.
Решение: x = 5. Вычитаем 7, прибавленную последней, получаем 3x = 15, затем делим на 3, на которое умножали x, и проверяем подстановкой.
Ответ: x < 2/3. Вычитаем 3x, чтобы коэффициент остался положительным, затем вычитаем 7 и делим на 3 — знак неравенства при этом ни разу не меняется.
Ответ: x < 3/4. Вычитаем 3x, чтобы коэффициент остался положительным, убираем 6, получаем 3 > 4x, делим на 4 и переворачиваем запись неравенства.
Ответы: x = 4 и x = −4. Линейного члена нет, поэтому достаточно выразить x² = 16 и извлечь корень, но знак «плюс-минус» обязателен.
Ответ: x = 0 или x = 1/3. Свободного члена нет, поэтому x — общий множитель; деление обеих частей на x незаметно уничтожило бы корень x = 0.
Ответ: x = (−5 + √97)/6 и (−5 − √97)/6. Число 97 простое и не является полным квадратом, поэтому корни иррациональны, а разложить трёхчлен нельзя.
Решение: x < 0. Приводим всё к общему знаменателю 6, умножаем на 6, приводим подобные и получаем −12x > 0; деление на −12 меняет знак неравенства.
Корни: x ≈ −3,1660 и x ≈ 2,9426. Их сумма −0,2234 равна −b/a, а произведение −9,3155 равно c/a — это сразу подтверждает оба десятичных ответа.
Корни: x ≈ −2.6457 и x ≈ 2.5303. Вершинная форма −4.4912(x + 0.05769)² + 30.0809 даёт x + 0.05769 = ±√(30.0809/4.4912) = ±2.5880, отсюда оба корня.
Корни: x ≈ −2.1144 и x ≈ 2.0515. Умножение на −1 даёт 4.6173x² + 0.2906x − 20.029 = 0, и все знаки в формуле корней остаются удобными.
Ответ: m < 7/3. Складываем константы 4 и 3 в 7, слагаемые −2m и −m в −3m, а затем переносим −3m вправо, чтобы не менять знак неравенства.
Ответ: x = 1123/390 ≈ 2,879487. Вычитаем 0.68175, затем делим на 4.9725; переход к обыкновенной дроби спасает от ошибочного округления 2.8791.
Ответ: x = 77273/19890 ≈ 3.885018. Вычитаем 0.68175 и получаем 19.31825, затем делим на 4.9725 и сохраняем точную дробь до самого округления.
Решение: x > −7. Справа +6x и −6x взаимно уничтожаются, остаётся константа −12; деление на −4 в конце меняет знак неравенства.
Решение: x ≥ −6. После раскрытия скобок получаем 4x + 4 ≥ 3x − 2; поскольку выполняются только сложение и вычитание, знак неравенства не меняется.
Ответ: x = log₄80 ≈ 3,1610. Число 80 не является степенью четвёрки, поэтому логарифмируем и делим ln 80 на ln 4 — получаем точное и приближённое значения.
Корни: x = −25 ± 5√34, то есть примерно 4.154759 и −54.154759. Собираем 100x, делим уравнение на 2 до x² + 50x − 225 = 0 и применяем формулу корней.
x = 3/10 или x = −11/4. Дискриминант 14884 равен 122², то есть полный квадрат, поэтому корни рациональны, а 40x² + 98x − 33 = (10x − 3)(4x + 11).
Ответ: x = 125/7, около 17.857. Деление даёт 750/42, у чисел общий множитель 6, поэтому дробь сокращается ровно один раз и дальше уже несократима.
Корни: x = 2,43 и x = 1,23. Переносим всё в одну часть и получаем 3x² − 11x + 9 = 0, затем формула корней с дискриминантом 121 − 108 = 13.
x = 4402/73, примерно 60,3014. Раскрытие скобок с минусом даёт 3,65x + 0,35 = 220,45, откуда 3,65x = 220,10, и частное не равно круглому 60,3.
x = 4405/73, около 60.3425. После раскрытия скобок уравнение принимает вид 3.65x + 0.35 = 220.6, значит 3.65x = 220.25, а деление даёт бесконечную дробь.
x = 4910/73, примерно 67.2603. Скобка раскрывается в −0.35x + 0.35, остаётся 3.65x = 245.50, а простое число 73 делает ответ бесконечной дробью.
Ответ: x = 126618/1825 ≈ 69.379726. Умножение на −0.35 даёт в скобке +0.35, поэтому уравнение сводится к 3.65x + 0.35 = 253.586.
Ответ: x = 55617/730 ≈ 76,187671. После раскрытия скобок уравнение принимает вид 3,65x + 0,35 = 278,435, откуда x = 278,085/3,65.
x = 8. Раскрытие скобок даёт −60 + 3x, уравнение превращается в 7x − 60 = −4; прибавляем 60, делим на 7 и получаем x = 8, а проверка 32 − 36 = −4 это подтверждает.
Ответ: x = −8. Вычитаем 4x, чтобы собрать переменную справа, затем вычитаем 9 и делим на 2; проверка даёт −39 в обеих частях.
Ответ: x < 2. Прибавив 2x к обеим частям, получаем 6x + 8 < 20, затем 6x < 12, а деление на положительное число 6 сохраняет знак неравенства.
Решение — все действительные числа, кроме x = 1/2. Левая часть свёртывается в полный квадрат (2x − 1)², который обращается в нуль лишь в этой точке.
Корни: x = (1 + √33)/8 и x = (1 − √33)/8. Так как 33 = 3 × 11 свободно от квадратов, корень не упрощается и дробь остаётся в этом виде.
Дискриминант равен 256 − 112 = 144, это точный квадрат, поэтому x = (−16 ± 12)/8 даёт −1/2 и −7/2, а трёхчлен раскладывается в (2x+1)(2x+7).
Два решения: x = −3/2 и x = −7/2. Дискриминант равен 400 − 336 = 64, это полный квадрат, поэтому оба корня выходят точными дробями.
Решение: x = 12. В скобке 13x/4 − 11x/6 даёт 17x/12, и эта 17 сокращается с делителем, так что остаётся простое уравнение 5.6 − x/4 = 2.6.
Решение: x = 3. Умножение −2 на (x − 1) даёт −2x + 2, уравнение принимает вид 7 − 2x = 1, затем −2x = −6 и x = −6 / −2 = 3.
Решение: x ≤ −2. Раскрываем скобки: 3 − x/2 ≥ 4, отсюда −x/2 ≥ 1, а умножение обеих частей на −2 переворачивает знак и даёт x ≤ −2, а не x ≥ −2.
Ответ: n = 12/5 = 2,4. Минус перед скобкой превращает −(−5n + 1) в +5n − 1, поэтому слагаемые с n складываются, а не сокращаются.
Корень: x = −31/5 = −6.2. Деление обеих частей на 5 сразу превращает уравнение в x + 8 = 9/5 и полностью избавляет от раскрытия до 5x + 40 = 9.
Ответ: x = (5ln3 − 2ln5)/ln15 ≈ 0.8398, а вовсе не 1.037. Разные основания вынуждают логарифмировать, а ln5 + ln3 аккуратно сворачивается в один ln15.
Ответ: x = −2934271/5900 ≈ −497.334068. Запись x как 113x/113 объединяет 5x/113 и x в 118x/113, а большая константа даёт большой отрицательный корень.
x = 5399/5.8116 = 929.00. Освобождаемся от дроби: 5399 = 5.8116x, то есть x = целое / (1 + отношение); остаток 4470.00 ровно в 4.8116 раза больше x.
Решение: x = 5. Свободного члена переносить не нужно, поэтому деление обеих частей на 580 сразу завершает задачу: 2900/580 сокращается ровно до 5.
Ответ: a < −2 или a > 6/5. Дискриминант 256 — полный квадрат, он даёт корни −2 и 6/5, а парабола ветвями вверх положительна вне этих корней.
Ответ: w = −7z/2. Собираем слагаемые с w слева, а с z справа, получаем 2w = −7z, после чего делим на 2, не трогая знак результата.
Решение: x = 5. Вычитаем 2x — остаётся 3x − 4 = 11, прибавляем 4 и получаем 3x = 15, а деление на 3 даёт x = 5: обе части равны 21.
Корни: x = −2 и x = 1/3. Заметив, что 49x² = (7x)², сводим уравнение к виду A² − B² = 0 и вместо квадратного уравнения решаем два линейных.
Ответ: x = 0,8. После раскрытия скобок 25x² взаимно уничтожаются, и мнимо квадратное уравнение сводится к линейному −80x + 64 = 0.
Точное решение: x = −1. Вычитаем 7 из обеих частей и получаем 5x = −5, затем делим на 5; подстановка даёт 5(−1) + 7 = 2, значит ответ верен.
Решение: x > −5/4. Складывая 5x и −2x, получаем 3x, а деление дроби −15/4 на 3 даёт −5/4, причём знак неравенства при этом не меняется.
Ответ: x = 2 и x = −2. Линейного члена нет, поэтому достаточно выделить x² = 4 и извлечь корень — здесь это быстрее формулы дискриминанта.
Ответ: ровно x = 280. Разрыв в скорости всего 0.05, а 14/0.05 — целое число, потому что деление на 0.05 равносильно умножению на 20.
Ответ: x = 14/0.17 ≈ 82.35. Слагаемые с x почти сокращаются, остаётся лишь 0.17x — именно поэтому небольшая константа даёт такой большой ответ.
Ответ: p = −7. Раскрытие скобок даёт 30 + 6p = 7p + 37, а вычитание 6p оставляет p с коэффициентом 1, так что делить вообще не приходится.
Ответ: x = −23. После раскрытия скобок получаем 6x − 30 = 7x − 7; перенос слагаемых с x вправо, а чисел влево сразу даёт x = −23.
Три действительных корня: примерно −0.91311, примерно 1.11768 и ровно 36, поскольку 36^18 = (6²)^18 = 6^36. Поведением положительных корней управляет функция ln(x)/x.
Ответ: X = 4347/50 = 86.94. Сворачиваем две дроби в 500/27 и вычитаем 2210; здесь правая часть меньше левой, поэтому X получается положительным.
Ответ: g = 18. Три слагаемых с g сворачиваются в 2g, ведь одиночное g — это 1g, поэтому уравнение превращается в 2g = 36 ещё до всякого деления.
Ответ: p < (3 − √21)/6, или 0 < p < 1/2, или 1 < p < (3 + √21)/6 — многочлен пятой степени красиво раскладывается как p(p − 1)(2p − 1)(3p² − 3p − 1).
Корни: x = (−5 + √61)/4 и x = (−5 − √61)/4. Раскрываем скобку, приходим к 4x² + 10x − 9 = 0 и сокращаем результат формулы корней на 2.
Ответы: s = −6 и s = −64/7. Замена u = s + 9 превращает уравнение в 7u² − 20u − 3 = 0, которое раскладывается на множители как (7u+1)(u−3) = 0.
Ответ: k = 34.5. Сначала вычитаем 300 и получаем 200k = 6900; число 6900 не кратно 200, поэтому ответ приходится ровно на половину.
Дискриминант трёхчлена x² − 37x + 345 равен −11, поэтому действительных корней нет: максимум 74x − 2x² равен 684,5 и чуть-чуть не дотягивает до 690.
Вычитаем 4 и сводим к (7 − 5x)/(3x − 2) < 0, затем метод интервалов. Ответ: x < 2/3 или x > 7/5; умножать на 3x − 2 нельзя, так как знак множителя меняется.
Ответ: x ≥ 7. Вычитаем 4x, прибавляем 15 и делим на положительное 3 — раз делитель положительный, знак неравенства менять не приходится.
Ответ: x > −2. Раскрываем скобку, умножая 3 на каждое слагаемое, собираем x слева, числа справа и делим на положительное 4.
Ответ: x = −5. Вычитая 3x, собираем переменную слева в виде 4x, затем переносим 8 и получаем 4x = −20, а деление на 4 завершает решение.
Ответ: x = −7.6. Умножаем обе части на (x + 6), раскрываем −5(x + 6) = −5x − 30 и проверяем, что корень не обращает знаменатель в нуль.
Ответ: x = 2.8/1020000 ≈ 2.745098 × 10⁻⁶. Огромные коэффициенты обеих частей сводятся к 1020000x, поэтому корень на шесть порядков меньше единицы.
Ответ: x = −0.0058737255. Прибавляем 10000x к обеим частям, коэффициент становится 1020000, а разность констант −5991.2 делает x малым отрицательным.
Ответ: x = 7300/13 ≈ 561,54. Раскрываем обе скобки, приводим левую часть к 29200 − 27x, собираем x в одной части и получаем 52x = 29200.
Решение: x = 1.55095. Одно и то же число стоит при x и отдельно, поэтому вынесение даёт x + 1 = 215900.9/84635.579 — одно деление вместо двух шагов.
Ответ: g > 5. После раскрытия скобок получаем 2g − 6 < 8g − 36; перенос слагаемых с g вправо сохраняет коэффициент положительным, поэтому 30 < 6g и знак не меняется.
Ответы: x = 0 и x = 2. Переносим всё в одну часть и выносим 8x за скобку; деление обеих частей на x незаметно уничтожило бы корень x = 0.
Ответ: a − b = −4. По одному уравнению сами a и b найти нельзя, но их разность определяется однозначно: достаточно вычесть 9 из обеих частей.
Корни: x = 5/3 и x = 1/3. Уравнение уже содержит полный квадрат, поэтому выделяем (x−1)² = 4/9 и берём оба корня, не раскрывая скобки до квадратного трёхчлена.
x = log₉ 252 = ln 252 / ln 9 = 2.5166. Умножение на 12 выделяет 9^x = 252, а это не степень девятки, поэтому без логарифма здесь не обойтись.
x = 9127/1.934 = 4719.23. Умножив на x и прибавив x, получаем 9127 = 1.934x — это правило x = сумма/(1 + отношение) при отношении чуть меньше 1.
Ответ: x = 7517/7 ≈ 1073.86. Делим обе части на 100, выделяем дробь 0.08 = 3/(0.14(x − 806)), переворачиваем её и прибавляем к результату 806.
x ≈ 1,2503. В обоих произведениях есть общий множитель 4 − 2x с суммарным коэффициентом 41,4 + 28 = 69,4, и всё сводится к 305,6 − 122,8x = 152,0621.
Ответ: Vout = 4.81748. Коэффициенты 96.844679 и 97.109892 почти сокращаются, поэтому важна каждая цифра: точные дроби дают 1.2777 − 0.265213V − 3.6354e−7 V³ = 0.
Корни: −0,01062039, 0,02187147 и 245,69974892. Два корня близки к нулю, а третий огромен, поэтому одни лишь проверки по Виету малые корни не подтверждают.
Ответ: y > 3/8. Избавляемся от знаменателей 0,03, 0,5 и 0,15, переписывая каждое частное дробью, приводим подобные и делим на 8, получая y > 3/8.
Действительный корень x = 0.0536118. Отрезок надо отделять по верно посчитанным точкам: f(0.06) = +0.0246, значит смена знака происходит до 0.06, а не после.
Разбиваем каждую дробь на коэффициент и число, приводим уравнение к 18.3451x = −13.2857 и делим: x = −0.7242, то есть −0.72 с точностью до сотых.
Ответ: X = 14487500/1313781, около 11.027. Раскрываем произведения 3.6 × 7 × 60 = 1512 и 25.2, собираем X и делим 11.498016 на 1.0426833.
Раскрываем скобки, дробим каждую дробь на десятичный коэффициент и постоянную, приводим к 20.7775x = 49.9345 и делим: x = 2.4033, то есть 2.40.
Корни: x = 15.97929 и x = 8.02999. Дискриминант равен 0.5945668496; одна опечатка в 4ac сдвигает оба корня уже в третьем знаке после запятой.
Корни: x = 1 (двукратный), −1, −5 и ±i√2. Рациональный корень, затем группировка, затем замена y = x² разбирают уравнение шестой степени на части.
После избавления от десятичных дробей получаем y³ + 26y² + 25y − 100 = 0, где y = x². Единственный положительный корень y = 1,50569, значит x = ± 1,22706.
Ответ: x ≈ 5,666. Сворачиваем правую часть в одно число, затем снимаем логарифмы по одному, дважды потенцируя по основанию 10.
Корни: x ≈ −1.4580 и x ≈ 1.4395. Дискриминант равен 191.131, а его корень 13.8250 подавляет крошечный линейный коэффициент, поэтому корни почти симметричны.
Решение: x = −1309/110 = −11.9. Сначала вычисляем четыре тройных произведения, затем складываем константы в 1309 и делим на коэффициент 110.
x = 193.92W/0.87 = 222.90W. Неизвестное стоит в обеих частях, поэтому 0.13x надо перенести и привести подобные: это уравнение, а не простое вычисление.
Решение: q = 5. Если сначала сложить две константы слева в −20, а затем вычесть 4q из обеих частей, уравнение превращается в 6q = 30.
Ответ: x = 591.4491. Один и тот же коэффициент встречается дважды, поэтому его можно вынести: x + 1 = 215900.9/364.4210, откуда x = 591.4491179.
Ответ: x = 6710/0.97 = 6917.53. Свернув скобку до x + 1000, всё уравнение за один шаг превращается в 0.97x − 210 = 6500.
Ответ: x = 2. Раскрытие всех четырёх скобок даёт 200 − 56x = 18x + 52, откуда 148 = 74x. При x = 2 обе части исходного уравнения равны 88.
Решение: x = 12/5 и y = √6/5. Домножив уравнения на √2 и √3, превращаем оба коэффициента при y в √6, и при сложении они взаимно уничтожаются.
Ответ: x = ±√a при a > 0. Умножение на x даёт x² = a, но значение x = 0 запрещено исходной дробью, поэтому при a = 0 решений нет.
x = (2880 − m)/9, y = (1440 − 2m)/9, а неравенство x + y ≤ 8m/3 выполняется ровно при m ≥ 160. Одна ошибка в знаке при выражении x переворачивает всё условие.
Решение: x = 2201834.869. Переводим 3% и 13% в 0.03 и 0.13, тогда слагаемые с x складываются в +0.10x, ведь −0.03x + 0.13x даёт одну десятую.
Решение: x ≤ 47.94, а для целых значений x ≤ 47. Знак неравенства меняется на противоположный именно при делении на отрицательный коэффициент −0.85.
Ответ: x = 2000.8486. Сначала считаем 0.35 × 1077.38 = 377.083, вычитаем это число, затем делим на 0.35; то же даёт x = 1077.38 × 0.65/0.35.
Решение: a = 12. Прибавить −16 — то же, что вычесть 16, поэтому уравнение превращается в a − 16 = −4, а прибавление 16 к обеим частям выделяет a.
Раскрытие даёт кубическое уравнение −0.013122x³ + 50.058x² − 41762.7x + 6482700 = 0 с корнями x = 24500/27 ≈ 907.4074, x ≈ 201.1822 и x ≈ 2706.2252.
Ответ: x = −385,8956. Приводим числитель к 1202,61 − x, умножаем крест-накрест до 9(1202,61 − x) = 16(1279,43 + x) и собираем слагаемые с x.
Решение: x ≥ 1/2. После раскрытия скобок выходит x² + 4x + 3 ≥ x² − 6x + 8, и вычитание x² превращает неравенство в обычное линейное.
Вынесение z даёт неполное кубическое уравнение z³ + 2r²z − 8 = 0 с r² = x² + y², единственный вещественный корень которого даёт формула Кардано.
Решения: x = 0.9 точно и x = 0.8974433. Разложение (8.9−x)² − 64 = (0.9−x)(16.9−x) вскрывает общий множитель и сводит уравнение четвёртой степени к кубическому.
Ответ: x ≈ 4.9368×10⁻⁵. Считаем известный обратный куб как 8×10¹², переносим его, снова обращаем и извлекаем кубический корень — всё в стандартном виде.
Решение: x = 24. Три константы слева дают −4, два слагаемых с x справа дают −12x, а после переноса остаётся простое уравнение 3x = 72.
Единственный действительный корень s = −3,0864085. После освобождения от знаменателей выходит 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0 — без рациональных корней.
Действительных корней два: x = 0,0221841 и x = −2,1184421. Вынесение (1+x)^27 превращает десять степеней в геометрическую прогрессию, а смена знака отделяет корни.
Решение: a = −1/550, b = 199/1100, c = 61/55. Так как c во всех трёх уравнениях имеет коэффициент 1, вычитание соседних уравнений убирает его сразу.
Ответ: x1 = 19, x2 = −8, x3 = 1. Меняем строки местами ради ведущей единицы, обнуляем элементы под ведущими и приводим матрицу к ступенчатому виду.
Ответ: D = 12830.69 и W = 12169.31. Подстановка W = 25000 − D сводит второе уравнение к 0.945D = 12125, ведь концентрации отличаются на 0.945.
Решение: X = 4963/11 ≈ 451,18 и Y = 12142/11 ≈ 1103,82. Умножив второе уравнение на 5,15 и вычтя его, выражаем Y за один шаг.
Решение: X = 2393/18 ≈ 132,94 и Y = 3218/9 ≈ 357,56. Подстановка X = 490,5 − Y сводит систему к одному уравнению относительно Y с коэффициентом 0,45.
Решение: X = 4481/11 ≈ 407,36 и Y = 13064/11 ≈ 1187,64. Главный определитель равен 5,20 − 5,75 = −0,55, и именно он задаёт оба частных.
Решение: X = 524,625 и Y = 1103,375. Средняя цена равна 6627,75/1628 ≈ 4,0711, и её положение между 3,80 и 4,20 сразу задаёт искомое разделение.
Решение: x = −339.79. Коэффициенты при x отличаются всего на 0.14394, поэтому разрыв констант −48.9091 при делении увеличивается примерно в семь раз.
Решение: x = −374.70. После вычитания меньшего слагаемого с x остаётся коэффициент 0.12987, поэтому малая разность констант даёт большой отрицательный корень.
Ответ ровно x = 37.8, а не приближение: 52.5/76.25 сокращается до 42/61, а 549 = 9 × 61, поэтому 54.9 · 42/61 даёт 378/10 без округления.
Ответы: x = −6 и x = 10. Сначала упрощаем правую часть до 8, затем разбиваем на 2 − x = 8 и 2 − x = −8, чтобы не потерять ни одного корня.
Ответ — замкнутый отрезок −7/2 ≤ a ≤ 1/2, а не отдельные точки. Между двумя точками излома слагаемые с a взаимно уничтожаются и остаётся тождество 8 = 8.
Ответ: только x = 3/4. Правая часть обязана быть неотрицательной, значит x ≥ 0, и это условие отбрасывает кандидата x = −3/8 из второго случая.
Решение: −5/2 < x < 4. Точки −1/3 и 4 разбивают прямую на три случая, а последний сводится к x + 1 < x + 1, что не выполняется нигде.
Ответ: x = 16/3 и x = −4/5. Если модули равны, то подмодульные выражения равны или противоположны: 4x − 6 = x + 10 и 4x − 6 = −x − 10.
Ответ: x = 4/7 или x = −2/7. Так как 3 положительно, уравнение распадается на 7x − 1 = 3 и 7x − 1 = −3, и корни лежат ровно на 3/7 по обе стороны от x = 1/7.
Ответ: −2 < x < 2. Между точками излома сумма постоянно равна 2, а снаружи растёт на 2 за единицу, поэтому достигает 4 ровно через единицу за каждым изломом.
Ответ: x < 0 или x > 7. Между точками излома сумма постоянно равна 3, поэтому значения 7 она достигает лишь в двух единицах от каждой из этих точек.
Ответ: x < −3 или x > 0. На среднем промежутке неравенство превращается в ложное 1 > 3, поэтому решение — два крайних луча и ничего между ними.
Ответ: x = 11. Уравнение означает, что x равноудалён от −66 и 88, значит это середина отрезка — одна строка вместо разбора двух случаев.
Единственное решение: x = 3/2. Точки 0, 1, 2 и 3 разбивают прямую на пять случаев, четыре из которых дают противоречие или корень вне своего промежутка.
Ответ: a = 78.77. Взять 13 % от 10 % — значит умножить на 0.013, поэтому удержание составляет всего 0.091a, а коэффициент при a остаётся положительным: 6.909.
Корни: b = 4 + √11 и b = 4 − √11. Переобозначим коэффициенты формулы через A, B, C, чтобы неизвестное b не путалось со средним коэффициентом.
Ответ: x = 2034022,99. После переноса 0,13x остаётся 0,87x = 1769600, потому что у одиночного x справа коэффициент равен ровно 1.
Ответ: x = m при условии, что G и d отличны от нуля. У обеих частей один и тот же знаменатель d² и общий множитель G, после сокращения остаётся Gm = Gx.
Решение: x = (4k − 6)/(k − 3) при k ≠ 3. При k = 3 уравнение сводится к 6 = 12 — это противоречие, поэтому решений нет вовсе.
x = exp(5·ln2·ln3/(ln2 + ln3)) = 8.3729, а не 6.06. Переход к натуральным логарифмам превращает уравнение в линейное относительно ln x.
Точное решение: x = −22703/143 ≈ −158.7622. Вычитаем 0.06997, получаем −0.00143x = 0.22703, затем делим на отрицательный коэффициент — знак меняется.
Корни: x = (5 ± √785)/20, то есть примерно 1,650893 и −1,150893. Дискриминант 785 = 5 × 157 не содержит квадратного множителя, поэтому радикал не упрощается.
x ≤ (65 − 5√161)/2 = 0.7786 или x ≥ (65 + 5√161)/2 = 64.2214. Деление на −4 переворачивает знак: x² − 65x + 50 ≥ 0, что верно вне корней.
x = −3. Минус перед скобкой превращает −(5x − 4) в −5x + 4; после приведения подобных −3x − 10 = −1, откуда −3x = 9 и x = −3.
Ответ: x < 7. Деление на отрицательное число −6 меняет направление знака, и «больше» превращается в «меньше» — именно этот шаг и решает всё дело.
Ответ: x = −2. Сначала сворачиваем правую часть до 14, затем делим на −7: положительное на отрицательное даёт отрицательное частное, а не 2.
t = −3 + √37 ≈ 3,0828. Умножение на −1 даёт t² + 6t − 28 = 0 с корнями −3 ± √37, а условие t > 0 отсекает отрицательный корень −3 − √37.
Действительных решений нет; комплексные корни m = (1 + i√3)/2 и (1 − i√3)/2. После умножения на m получаем m² − m + 1 = 0 с дискриминантом −3.
Ответ: x = 1/(2 − m) при любом m, кроме 2. Выделяем обратную величину, переворачиваем обе части и замечаем, что при m = 2 знаменатель обращается в нуль.
Решение: 9/2 ≤ x < 5. Вычитание 8 из всех трёх частей даёт −10 < −2x ≤ −9, а деление на −2 разворачивает сразу оба знака неравенства.
Ответ: x = 3. Прибавляем 9 к обеим частям и получаем −2x = −6, затем делим на −2: минус на минус даёт плюс, поэтому ответ положительный.
Ответ: x ≤ −2 или x ≥ 2. Деление на отрицательное −2 меняет знак на x² ≥ 4, а такое неравенство даёт два луча наружу от отрезка [−2; 2].
Ответ: x ≥ −3. После вычитания 6 приходится делить на −4, а деление неравенства на отрицательное число меняет его знак с ≤ на ≥.
Ответ: x = 2 или x = 3. Вынесение общего множителя −4 оставляет простой приведённый трёхчлен x² − 5x + 6, который раскладывается как (x − 2)(x − 3).
Корни: m = 3,67 и m = −0,27. Переносим все слагаемые так, чтобы коэффициент при m² стал положительным: 5m² − 17m − 5 = 0 с дискриминантом 389.
Ответ: x < −4/3. Деление обеих частей на −6 переворачивает знак неравенства, а дробь −8/6 сокращается до −4/3, то есть примерно −1,333.
Ответ: t = −3 + √37 и t = −3 − √37. Умножение на −1 даёт t² + 6t − 28 = 0, дискриминант 148 упрощается до 2√37.
Ответ: x < 1. После переноса единицы получаем −x > −1, а деление на −1 меняет «больше» на «меньше» — в этом и состоит вся трудность задачи.
Решение: 1 ≤ x ≤ 3. Умножение на −1 переворачивает неравенство в x² − 4x + 3 ≤ 0, которое выполняется между корнями 1 и 3 включительно.
Решений нет. Переход к x² − 6x + 10 < 0 даёт дискриминант −4, поэтому парабола ветвями вверх не достаёт до оси и всюду положительна.
Корни: x = 3 и x = −1/2. Умножение на общий знаменатель 30 даёт 2x² = 5x + 3, а разложение 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3) завершает решение.
x < −4, то есть промежуток (−∞; −4). Умножение обеих частей на положительное число 3 сохраняет знак неравенства; разворачивает его только отрицательный множитель.
Четыре корня: x = −1, 3/2, 2 − √3 и 2 + √3. Раскладываем многочлен на множители по теореме о рациональных корнях и схеме Горнера, затем решаем квадратное уравнение.
Единственное решение: x1 = 2, x2 = 2, x3 = 0. Исключение x1 из второго и третьего уравнений оставляет систему 2×2, которая сразу даёт x3 = 0.
Единственное решение: x1 = 5, x2 = 3, x3 = −1. В двух уравнениях не хватает переменной, поэтому выражаем x1 и x2 через x3 и решаем систему быстро.
Левая часть — сумма расстояний от x до 0 и до 1. Она равна единице ровно тогда, когда x лежит между ними, поэтому решением служит весь отрезок [0,1].
Решения: x = 9 и x = −9. Внешний модуль даёт |x| − 4 = 5 и |x| − 4 = −5; вторая ветвь приводит к |x| = −1, чего не бывает ни при каком вещественном x.
Замена t = x² даёт t² − 24t − 25 = 0 с корнями t = 25 и t = −1. Действительные x получаются только из t = 25, поэтому x = 5 или x = −5.
Ответ: x = 24,5. Раскрываем: 367,5 + 4x = 372,4 + 3,8x; члены с x различаются лишь на 0,2, поэтому разрыв 4,9 требует 24,5 единицы нового материала.
Ответ: −3 < x < −2. Достаточно вычесть 4 из всех трёх частей, и обе границы оказываются отрицательными, потому что 4 больше каждой из них.
Корни: x = −3, x = 1/2 и x = 1. Теорема о рациональных корнях указывает на x = 1/2, поэтому делится множитель 2x − 1 и остаётся x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).
Ответ: x больше кубического корня из 5, примерно 1.71. Кубический корень определён на всей прямой и строго возрастает, поэтому ответ — один луч без разбора случаев.
Ответы: x = 1 (двукратный корень) и x = −2. Деление на x − 1 по схеме Горнера даёт x² + x − 2, где множитель x − 1 встречается второй раз.
Действительный корень x ≈ −0,6535952, комплексные x ≈ −0,6732024 ± 2,3805031i. Рациональных корней нет, поэтому отделяем корень на (−1; 0) и уточняем методом Ньютона.
Действительный корень x = 7: уравнение равносильно x(x+1)(x+2) = 504, а 7·8·9 = 504. Два других корня комплексные и равны −5 ± i√47.
Ответ: x = (−3 ± √555)/2, то есть около 10.279 и −13.279. Переносим 2.91, умножаем на 100 и получаем 2x² + 6x − 273 = 0, дальше — формула корней.
Второе уравнение уже даёт y = 16,83 − 2,49x. Подстановка приводит к 19,6048x = 85,1016, откуда x = 4,3409 и y = 6,0213, то есть x ≈ 4,34 и y ≈ 6,02.
Ответ: x ≥ 0, то есть [0, +∞). Сокращаем единицу в обеих частях, приводим −x/3 + 2x/7 к знаменателю 21 и меняем знак при делении на отрицательный коэффициент.
Ответ: x < 0. Приводим −x − x к −2x, умножаем обе части на положительное число 3, поэтому знак не меняется, и собираем слагаемые с x.
Решение: x < 3/2. Складываем 2x − x в x, умножаем обе части на 3 — направление неравенства сохраняется, — и приводим к виду 6x < 9.
Ответ: все x, кроме x = 2. Разложение даёт −(x − 2)²: оно отрицательно всюду, кроме двойного корня, где равно нулю и строгое неравенство не выполняется.
Ответ: x < −|a| или x > |a|. Извлекать корень напрямую нельзя, ведь a может быть отрицательным; разложение (x − a)(x + a) > 0 разбирает все случаи.
Ответ: 0 < x < 2945,715457. При x > 1 левая часть строго возрастает, а ниже единицы отрицательна, поэтому всё решает одна численно найденная граница.
Ответ: x > 1. Логарифмирование превращает его в x ln(x) > 0, а так как x положителен, знак зависит только от ln(x), который положителен ровно выше 1.
Решение: x = 5. Умножение каждого слагаемого на наименьший общий знаменатель 6 убирает все дроби разом и приводит уравнение к виду 9x − 29 = x + 11.
Ответ: x = 40000/59, около 677,97. Раскрываем 0,21, сводим члены с x к 0,59x, вычитаем 2100 и делим; дробная запись избавляет от погрешности округления.
Ответ: 4 ≤ x ≤ 30. Вынесение общей скобки (800 − 20x) даёт (0,6 + 0,1x)(800 − 20x) ≥ 720, что сводится к x² − 34x + 120 ≤ 0.
Ответ: x = 142.393 или x = 17.619. Дискриминант равен 426213.1225 − 167051.52 = 259161.6025, его корень 509.0792, остаётся разделить на 2a = 8.16.
Три вещественных корня x ≈ −0.603957, 0.909281, 1.110778 и пара −0.070551 ± 0.636284i. Рациональных корней нет, поэтому уравнение решается численно.
Пять корней: x = 0, 10, −5, −15, −20. Вынесите x, затем разложите оставшийся многочлен четвёртой степени на два квадратных — все корни оказываются целыми.
Единственный корень: x = (5 + √33)/4 ≈ 2.6861. Переносим один радикал вправо, чтобы обе части были неотрицательны, дважды возводим в квадрат и отсеиваем лишний корень.
Решение: x = 162. Сначала выделяем радикал и получаем √(x + 7) = 13, и только потом возводим в квадрат — иначе −11 портит всё решение.
Решения: x = 0 и x = 1/16. Запись вложенного корня как x^(3/4) сводит уравнение к x^(3/4) = 2x, а корень x = 0 приходится разбирать отдельно.
На области x ≥ 1/3 обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат даёт 3x − 1 > 4x², то есть 4x² − 3x + 1 < 0. Дискриминант равен −7, значит, решений нет.
Ответ: x = 15. Записав отношение дробью и перемножив крест-накрест, получаем 15x + 6 = 14x + 21, так что слева остаётся один-единственный x.
Решение — пара (2; −4). Умножаем оба уравнения на 10, убираем десятичные дроби, домножаем на 2 и 3 для уравнивания коэффициентов при x и складываем: −23y = 92.
Ответ: x = 6/95 и y = −6/47. Замена a = 1/x и b = 1/y превращает систему с дробями в линейную, которую решаем сложением, а затем возвращаемся к x и y.
x = 3 и y = 3. Подстановка y = 6 − x сводит первое уравнение к 120x + 600 = 960, а проверка через среднее подтверждает деление шести единиц поровну.
Ответ: x = 4, y = −5. Из первого уравнения сразу получается y = 3 − 2x без единой дроби, поэтому подстановка здесь удобнее сложения.
Ответ: x = 14/5 и y = 9/5. Из x − y = 1 выражаем x = y + 1, подставляем в 3x + 2y = 12, получаем 5y + 3 = 12, а затем возвращаемся к x.
Ответ: x = 1 и y = 1. Умножаем уравнения на 3 и на 2, чтобы получить +6y и −6y, складываем и исключаем y — остаётся 13x = 13.
Решение — пара (23, −30). Умножаем первое уравнение на 4 и получаем 2x + y = 16, подставляем y = 16 − 2x во второе и решаем 2x − 48 = −2.
Умножаем первое уравнение на 12 и получаем 8x − 9y = 6, раскрываем скобки во втором до 2x + 7y = −17, исключаем x и находим y = −2, а затем x = −3/2.
Первое неравенство после деления на −2 со сменой знака даёт x ≤ 1, второе — x > −7. Ответом служит пересечение промежутков: (−7, 1].
Ответ: x = 17/4 и y = 3/4. Делим второе уравнение на 2 и получаем x + y = 5, после чего вычитание убирает x за один шаг.
Ответ: x = 3, y = −2. Коэффициенты при y уже противоположны, поэтому сложение уравнений сразу исключает y и даёт 3x = 9 в одно действие.
Ответ: x = 1, y = −2. Выразив y из первого уравнения и подставив во второе, получаем одно линейное уравнение 5x + 2 = 7.
В переменных s и p система принимает вид s² − p = 7 и s + p = 5, откуда s² + s − 12 = 0. Вещественные x и y даёт лишь ветвь s = 3, p = 2, то есть 1 и 2.
Так как (x²+y²)² = x⁴ + y⁴ + 2(xy)² = 82 + 18 = 100, то x² + y² = 10, далее x + y = ±4 и x − y = ±2, откуда пары (3,1), (1,3), (−3,−1), (−1,−3).
Решение: x = 5/3, y = 14/3. Обе формулы уже задают y, поэтому приравниваем 4x − 2 = x + 3, находим x и подставляем в любую из прямых.
Ответ: x = 4. Прибавляем 3 к обеим частям, получаем (3/4)x = 3, а затем умножаем на обратную дробь 4/3 вместо деления на дробь — либо сразу убираем знаменатель.
Ответ: x = −2, 0 и 11. Переносим всё в одну часть, выносим общий множитель x, а оставшийся трёхчлен раскладываем как (x − 11)(x + 2).
x = 5 — корень кратности три. Коэффициенты 1, −15, 75, −125 в точности повторяют разложение (x − 5)³, поэтому корень один и он трёхкратный.
Единственное решение — x = 1, корень кратности три. Коэффициенты 1, −3, 3, −1 — знакочередующаяся строка бинома, поэтому уравнение свёртывается в (x − 1)³ = 0.
Корни: x = 2 (двукратный) и x = −1. Перебор рациональных корней даёт x = 2, а деление по схеме Горнера оставляет x² − x − 2 = (x−2)(x+1).
Корни: x = 1, 2 и 3. Перебираем делители числа 6, делим на (x − 1) по схеме Горнера, раскладываем x² − 5x + 6 и подтверждаем ответ теоремой Виета.
Ответ: около 737.56. Собирая слагаемые с x, получаем 0.82x = 604.8, то есть база равна фиксированной части, делённой на 1 минус доля в 18 %.
Ответ: x = 600/7, это примерно 85.71. Приведение слагаемых с x даёт 0.7x = 60, а знаменатель 7 как раз и делает десятичную запись бесконечной.
Ответ: x = 70/0.65 = 1400/13, около 107.69. Неизвестная стоит в обеих частях, поэтому сначала собираем x и получаем 0.65x = 70, а вовсе не 70/0.35.
Ответ: x = 400/3 ≈ 133,33. Перенос 0.4x влево даёт 0.6x = 80, то есть самоссылка стоит множителя 1 − 0.4, а вовсе не 0.4.
x = 262962,96. Неизвестное стоит в обеих частях, поэтому сначала раскрываем скобки; уравнение сводится к 1,08x = 284000.
Ответ: x = 37 500. Неизвестное стоит и внутри скобки, поэтому сводим к x = 0,12(350000 − x), раскрываем до 1,12x = 42000 и делим.
Действительные корни: x = 1.0524735 и x = −1.6942810. Разложение x(x + 1)(x² + 1) гарантирует ровно два действительных корня, остальные два комплексные.
Вещественные корни: x = 1.0620313 и x = −1.7023038. Локализация на [1, 1.1] и на [−1.75, −1.7] с последующим делением пополам даёт оба с семью знаками.
Два вещественных корня: x = 7.9431476 и x = −8.4477787. Разложение левой части в x(x + 1)(x² + 1) сразу объясняет, почему вещественных корней ровно два.
x = 7246.475 точно. Левая часть сворачивается в 0.8x — это алгебра скидки в 20 %, а деление на 0.8 равносильно умножению на 1.25.
Ответы: x = 0,4940 и x = −0,3340. После раскрытия скобок получаем x² − 0,16x − 0,165 = 0, а дискриминант 0,6856 не является точным квадратом.
Ответы: x = 4.143 и x = −3.983. Дискриминант равен 0.0256 + 66 = 66.0256, а его квадратный корень 8.1256 совсем не близок к круглому числу.
Ответ: x = 0.19/0.835 = 0.2275. Это стандартное уравнение маржи: при постоянных затратах 0.19 и марже 16.5 % база равна затратам, делённым на (1 − маржа).
Ответ: x = 50. После вычитания 0.98x остаётся 0.02x = 1, а деление на 0.02 — то же самое, что умножение на 50, ведь 0.02 составляет одну пятидесятую.
Ответ: x = 100. После вычитания 0,99x остаётся 0,01x = 1, а деление на маленький коэффициент 0,01 равносильно умножению на 100.
Ответ: x = 3. Умножаем каждое слагаемое на общий знаменатель 10 и получаем 5(x − 1) = 20 − 2(x + 2); аккуратно раскрываем скобки и приходим к 7x = 21.
Ответы: x = (3 + √13)/2 и x = (3 − √13)/2. Умножение на x даёт x² − 3x − 1 = 0, и ни один корень не равен нулю, поэтому посторонних среди них нет.
Точный ответ: x = 512009/6 = 85334,83333…. Вычитаем 3, делим на 0,6 умножением на 5/3 и прибавляем 1; периодическая дробь и означает бесконечную десятичную запись.
Ответ: x = 168300/23, около 7317.39. Скобка раскрывается в 0.08x − 500, поэтому после раскрытия минуса уравнение принимает вид 0.92x + 500 = 7232.
Скобка упрощается до x²/(x + 2), поэтому при y = x²/(x + 2) уравнение принимает вид y² + 4y − 5 = 0. Годится только y = 1, откуда x = 2 или x = −1.
Ответ: x ≤ 1. Сумма x и −2x даёт одно слагаемое −x, а деление на −1 на самом последнем шаге меняет знак неравенства с ≥ на ≤ и даёт x ≤ 1.
Ответ: x > 8. Прибавляем 3 к обеим частям и выделяем x; знак неравенства не меняется, потому что умножения на отрицательное число здесь нет.
Решение: x > −3. Умножение на общий знаменатель 4 даёт x − 3 < 24 − 2(3 − 4x), а минус перед дробью меняет знаки обоих слагаемых внутри скобки.
Ответ: x = 6500. Раскрываем скобку в 0,024x − 150, разносим минус, и уравнение сводится к 0,976x + 150 = 6494 с точным целым корнем.
Решение: x ≤ 1. Умножая x − 2 на −3, получаем −3x + 6, а неравенство −2x ≥ −2 меняет знак при делении обеих частей на −2.
Ответ: x > 15. Прибавляем 4 к обеим частям, чтобы отменить вычитание; умножения на отрицательное число нет, поэтому знак «больше» не меняется.
Ответ: x > −5/4. Умножение обеих частей на 6 даёт 2(x − 4) < 3(2x − 1), а ответ остаётся точной дробью, а не десятичным приближением.
x = 7/2. Равенство квадратов означает, что основания равны или противоположны; первый случай даёт x = 3.5, а второй сводится к неверному равенству −4 = −3.
Ответ: x > 12. Прибавляем 7 к обеим частям и выделяем x; сложение никогда не меняет направление неравенства, поэтому знак «больше» остаётся прежним.
Корень: x = −1. Слева оба слагаемых содержат x, поэтому сводим их к (4/5)x и делим; умножение на 5 позволяет вообще обойтись без дробей.
Преобразования: x = y + 8 и y = x − 8. Одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений — они образуют прямую с угловым коэффициентом 1.
Ответ: x = 1.9078533, ровно в 17/3 раза больше 0.33668. Умножение на знаменатель даёт 0.15x = 0.286178, а деление на 0.15 — периодическую дробь.
x = 6,39692, что ровно в 19 раз больше 0,33668. Освобождаясь от знаменателя, получаем 0,05x = 0,319846, а остаток в 5 процентов и даёт множитель 19.
Ответ: x = 970/3, примерно 323.33. Умножение крест-накрест даёт 3x = 970, а тройка берётся из 100 − 97 — поэтому десятичная запись периодическая.
Ответ: x = 490. Перекрёстное умножение даёт 50x = 49(10 + x), откуда x = 490: для доли 98 % вещества x нужно в 49 раз больше, чем фиксированных 10.
Ответ: x < 2. Умножаем обе части на 2, после переноса получаем −x > −2, а умножение на −1 меняет направление неравенства на x < 2.
x = −20/3, около −6.6667. Умножение каждого слагаемого на 4 убирает оба знаменателя: получается 9x − 6 = 14 + 12x, а затем −20 = 3x.
x = (−5 + √99545)/2 = 155.2538 или x = (−5 − √99545)/2 = −160.2538. Избавление от знаменателей 5 и 2 превращает произведение в x² + 5x − 24880 = 0.
Ответ: x = 44/3, то есть 14 целых 2/3, или примерно 14.667. Умножаем обе части на 8, получаем 88/6 и сокращаем на общий множитель 2.
После избавления от знаменателей получаем x³ + 25x − 25x − 125 = 0, то есть x³ = 125 и x = 5 — единственный действительный корень, два других комплексные.
Ответ: y = 100x/99, около 1.0101x. Умножение на y даёт x = 0.99y, а деление на 0.99 превращает десятичную дробь в точную дробь 100/99. Разбор по шагам.
Ответ: x = 2/3. Раскрытие обоих кубов даёт 2x³ − 3x² + 15x − 7, а вычитаемое убирает 2x³ − 3x², и остаётся линейное уравнение 15x − 7 = 3.
Ответ: x = 13,15893318, а точно 92937321/7062679. Делим обе части на множитель с восемью знаками, затем вычитаем 1; раннее округление сдвигает результат.
Ответ: (3−√26)/2 ≤ x ≤ (3+√26)/2, примерно от −1,0495 до 4,0495. Раскрываем скобки, переносим 1/4, избавляемся от дроби и решаем 4x² − 12x − 17.
Ответ: −1 < x < 4. Произведение двух множителей отрицательно ровно тогда, когда множители разных знаков, а это происходит строго между корнями.
Ответ: x > 2. Вычитаем x, затем 6 и приходим к 4 < 2x; делим на положительное 2 и записываем 2 < x в привычном виде — с переменной слева.
Ответ: x = 8. У четырёх слагаемых коэффициенты 1, 10, 1 и 1; в сумме они дают 13, поэтому уравнение сводится к простому 13x = 104.
Ответ: x < 4. Вычитаем 2 из обеих частей, чтобы выделить x; вычитание сохраняет направление, поэтому знак «меньше» смотрит в ту же сторону.
Решение: x < 17/2. Собрав слагаемые с x справа, получаем 17 > 2x, а деление на 2 оставляет точную дробь 17/2, а не десятичное приближение.
Ответ: x = 8. Кубические слагаемые взаимно уничтожаются: первое произведение — сумма кубов x³ + 64, второе равно x³ − 25x, остаётся 25x + 64 = 264.
Корни: x = (−11 + √61)/2 и x = (−11 − √61)/2. После раскрытия скобок получается x² + 11x + 15 = 0, а его дискриминант 61 не является полным квадратом.
Так как x² + 1/x² = t² − 2, уравнение сводится к 2t² − 7t + 5 = 0 с t = 1 или 5/2. Вещественные прообразы даёт только t = 5/2, откуда x = 2 и x = 1/2.
Ответ: x = 2. Так как √4 = 2 — это константа, а не корень с переменной, уравнение обычное линейное: −2x + 2 = −2, откуда x = 2 за два шага.
x = 1/28 и y = 1/21. Подстановка x = 1/12 − y приводит второе уравнение к виду 2/3 + 7y = 1, откуда y = 1/21; это классическая задача на совместную работу.
Корни: x = 1 + 3√2 и x = 1 − 3√2. Дискриминант равен 72, а упрощение √72 до 6√2 как раз и позволяет аккуратно сократить дробь.
Ответ: x = −8. Раскрытие правой части даёт x² + 30x + 225; слагаемые с x² взаимно уничтожаются, и остаётся линейное уравнение 30x = −240.
Корни: x = ±√(2√3), это примерно ±1.8612. Правая часть иррациональна, поэтому ответ записывается вложенным радикалом, равным 2^(1/2)·3^(1/4).
Ответ: x = 5 или x = −5. Заметив, что 25 = 5², раскладываем левую часть в (x − 5)(x + 5) — это надёжнее корня, ведь оба знака видны сразу.
Корни: x = 1 + √5 и x = 1 − √5. Дискриминант равен 20, а упрощение √20 до 2√5 позволяет всей дроби аккуратно сократиться.
Решение — любое действительное число, кроме x = 1. Левая часть равна полному квадрату (x − 1)², а он строго положителен всюду, кроме кратного корня x = 1.
Первое неравенство даёт (−∞, −2] ∪ [5, ∞), второе — [−1, 1]; пересечение пусто, поэтому ни одно x не удовлетворяет обоим неравенствам сразу.
Решение: −2 ≤ x ≤ 5. Разложение (x − 5)(x + 2) показывает, что парабола ветвями вверх опускается под ось лишь между корнями, включая их самих.
Ответ: x = 1 и x = 3. Числа −1 и −3 дают в произведении 3 и в сумме −4, поэтому трёхчлен красиво раскладывается как (x − 1)(x − 3).
Ответ: y = (x² + 1)/4. Выделяем слагаемое −4y и делим на −4, из-за чего оба знака меняются; получается парабола ветвями вверх с вершиной (0; 1/4).
Корни: x = 2 и x = 3. Положительный свободный член при отрицательном среднем требует двух отрицательных чисел: −2 · (−3) = 6, а −2 + (−3) = −5.
Ответы: x = 3 + √14 и x = 3 − √14. Дискриминант равен 56, а упрощение √56 до 2√14 позволяет сократить двойку со знаменателем.
Решение: x < (7 − √73)/2 ≈ −0,7720 или x > (7 + √73)/2 ≈ 7,7720. Дискриминант 73 — простое число, поэтому обе границы остаются иррациональными.
Ответ распадается по условию |a| > 2: решение — интервал между (a − √(a²−4))/2 и (a + √(a²−4))/2, а при −2 ≤ a ≤ 2 решений нет вовсе.
x = 7 или x = −6. Ищем два числа с произведением −42 и суммой −1: это −7 и 6, откуда разложение (x − 7)(x + 6) = 0.
Ответ: x = (−17 + √769)/2 ≈ 5,3654 или x = (−17 − √769)/2 ≈ −22,3654. Дискриминант 769 не является полным квадратом, поэтому целых множителей нет.
Корни: x = −1 + √2 и x = −1 − √2. Переход к виду (x + 1)² = 2 здесь быстрее формулы, потому что средний коэффициент чётный.
Корни: x = −1 и x = −2. Прибавив 2 к обеим частям, получаем x² + 3x + 2 = 0, что раскладывается как (x + 1)(x + 2), ведь 1 · 2 = 2, а 1 + 2 = 3.
x = −6 или x = 3. Два числа с произведением −18 и суммой +3 — это 6 и −3, поэтому трёхчлен раскладывается как (x + 6)(x − 3) = 0.
x = (−3 ± i√11)/2. После вычитания 1 получаем x² + 3x + 5 = 0 с дискриминантом −11, поэтому действительных корней нет — только пара сопряжённых.
Корни: x = −7 и x = 3. Отрицательный свободный член означает, что множители имеют разные знаки, а 7 × (−3) = −21 и 7 + (−3) = 4.
Ответ: x = −2 или x = −3. Два числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3, поэтому трёхчлен раскладывается, а нулевое произведение даёт оба корня.
x = 14 или x = −15. Перенос 210 даёт x² + x − 210 = 0, а пара 15 и −14 имеет произведение −210 и сумму 1 — как раз коэффициент при x.
Ответ: x ≤ (−1 − √5)/2 ≈ −1.6180 или x ≥ (−1 + √5)/2 ≈ 0.6180, а сами граничные значения — это в точности сопряжённые числа золотого сечения.
Ответ: x = 5180/11 = 470,909091, а вовсе не круглое 470. Деление 518 на 1,1 не даёт конечной дроби, а 1,1 × 470 = 517 — ровно на единицу меньше 518.
Ответ: x = 7/12, примерно 0,5833. Делим обе части на 60, получаем 35/60, затем сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель 5.
Вещественных решений нет: дискриминант уравнения x² − 37x + 345 равен −11. Комплексные корни равны (37 ± i√11)/2, поэтому прямоугольника такой площади не существует.
Ответ: x = 1828/365 = 5.00822, а вовсе не ровно 5. Свернув 75 · 365 / 1000 до 27.375, получаем 27.375x = 137.1, тогда как 27.375 · 5 = 136.875 — на 0.225 меньше.
Ответ: x = 15 и x = 35. После деления на −5 уравнение принимает вид x² − 50x + 525 = 0 и аккуратно раскладывается на множители как (x − 15)(x − 35).
Четыре корня: x = −2, −√2, √2 и 2. Замена u = x² превращает уравнение в u² − 6u + 8 = 0, которое раскладывается как (u − 2)(u − 4).
Решение: x = 10²⁵. Замена y = log x превращает уравнение в y^(3/2) = 125, откуда y = 125^(2/3) = 25, а значит x = 10²⁵.
Единственный действительный корень x ≈ 1,038016. Левая часть строго возрастает, поэтому корень ровно один; значения f(1) = 4 и f(1,1) = 5,990 его отделяют.
Деление на −3x меняет знак каждого слагаемого: 3x² даёт −x, −15x даёт +5, а свободный член 5 превращается в −5/(3x).
Делим каждое слагаемое числителя на 4x² по отдельности: вычитаем показатели и делим коэффициенты. Дробь остаётся только у среднего слагаемого — это 5/4.
Разложение: 1/(x − 2) + 2/(x − 2)². Запись x как (x − 2) + 2 позволяет каждой части сократиться со знаменателем без всякой системы уравнений.
Ответ: −19. Сначала обязательно записать √(−19) = i√19, потому что правило √a · √b = √(ab) не работает для отрицательных подкоренных выражений.
Результат: 3a⁴ + 24a³ + 48a². Если сначала вынести √3·a за скобку, задача сводится к 3a²(a + 4)², и возведение в квадрат полностью убирает корень.
У матрицы A + C строки (19,3,3), (3,5,3), (3,37,3), а у её квадрата — (379,183,75), (81,145,33), (177,305,129). Складываем поэлементно и умножаем сумму на себя.
У этого уравнения четвёртой степени лишь два вещественных корня: x ≈ −78.5149849 и x ≈ 80.4985052. На всём [0, 80] многочлен не поднимается выше −3992.
Разность равна −3x³ + 6x² + 7x − 18, её степень равна 3. Сначала раскрываем минус перед второй скобкой, меняя все знаки, затем приводим подобные.
Разность равна 41/((x − 2)(x − 6)). Разложение квадратного знаменателя сразу показывает общий знаменатель, а слагаемые с x сокращаются, оставляя константу.
Разность: −6x⁴y − 2x³y² + 9x²y³ − 3xy⁴ + y⁵. Разбираем, как менять знак у каждого слагаемого второй скобки и какие слагаемые с двумя переменными подобны.
Ответ: −4 + 15i. Раскрываем минус сразу на обе части второго комплексного числа, затем отдельно складываем действительные и отдельно мнимые части.
Разность равна −2y∛(2x). Выносим полные кубы 8 и y³ из-под каждого радикала — тогда оба слагаемых становятся подобными с общим множителем ∛(2x).
Ответ: n³ + 2. Раскрываем минус перед всей второй скобкой, видим, что слагаемые с n⁷ взаимно уничтожаются, и приводим оставшиеся подобные.
Ответ: −2x² − 4x + 62. Вся трудность — раскрыть минус перед всеми тремя слагаемыми g: 4x превращается в −4x, а −60 в +60.
Ответ: (−x² − 4x + 14)/((x+5)(x+4)). Приводим к общему знаменателю, раскрываем оба произведения и аккуратно распределяем минус на все три слагаемых.
Разность равна x⁴y² − 15x³y − 14y + 8x, её степень 6. Раскрываем минус перед скобкой, приводим подобные, затем складываем показатели в каждом одночлене.
Разность равна −x³ − 10xy − 2y², это многочлен третьей степени. Меняем знаки во второй скобке, объединяем слагаемые с x³, xy и y² и находим наибольшую степень.
Сумма равна 10s²t − 5st² — это двучлен степени 3. Складываются только подобные слагаемые, а степень слагаемого есть сумма показателей: 2 + 1 = 3, а не 2.
Система u3 + u5 − u6 = 6 и u8 + u4 = 52 даёт d = 5 и u1 = 1. Члены с чётными номерами образуют прогрессию с разностью 10, и сумма её 1010 членов равна 5101510.
Ответ: сумма равна 6 (m = 0, 2, 4). Система не имеет решений при m ≥ −1, а уравнение x + m − 2 = 2 − x имеет целый неотрицательный корень при чётном m ≤ 4.
Ответ: 60 — из двух подходящих первых членов 24 и 36. Девять углов в сумме дают 540, поэтому средний член равен 60, а условие с 78 даёт (k − 5)d = 18.
Сумма корней равна −3. Область определения x ≥ −5 отбрасывает x = −6, а сам множитель с радикалом даёт ещё один корень x = −5, поэтому корни — это 2 и −5.
Сумма равна −3. Область определения x ≥ −5 отсекает корень x = −6, поэтому остаются x = 2 от квадратного множителя и x = −5 от подкоренного.
Сумма равна 3. Область определения — [−1, 4], поэтому кандидат x = 5 отбрасывается, и остаются только x = −1, x = 0 и x = 4.
Вещественных корней два: x ≈ 0,027167 и x ≈ −2,122636. Подстановка y = 1 + x превращает левую часть в геометрическую прогрессию y²⁷(y¹⁰ − 1)/(y − 1), строго возрастающую лишь при y > 0 — на отрицательной ветви прячется второй корень.
Ответ: отрезок −3/2 ≤ x ≤ 3/2. Разбиение в точках x = −1 и x = 1 превращает сумму в −2x, затем в постоянную 2, затем в 2x; ограничивают только крайние случаи.
После избавления от иррациональности x = 2 + √3, y = 2 − √3, поэтому x + y = 4, xy = 1, а симметрические тождества дают x² + y² = 14, x³ + y³ = 52, а также 63.
После избавления от иррациональности x = √5 + 2 и y = √5 − 2, значит сумма равна 2√5, а произведение 1. Тогда x² + y² = (x+y)² − 2xy = 20 − 2 = 18.
В частном получается −x²/2 − x/4 + 27/8, в остатке 21/8. Сначала выносим множитель −2, делим на x − 1/2 по схеме, а затем делим частное на −2.
Неполное частное равно 2t² + 2t + 1, остаток равен −14. Пропущенное слагаемое с t² обязательно записывают нулём, поэтому строка коэффициентов такова: 2, 0, −1, −15.
Частное равно 2t + 1, остаток −14, то есть 2t² − t − 15 = (t − 1)(2t + 1) − 14. Старший коэффициент 2 не мешает: приведённым должен быть только делитель.
Частное равно 2x² + 4x + 6, остаток 5. Делитель x − 1 даёт c = 1, а теорема Безу независимо подтверждает остаток 5.
Схема Горнера даёт частное x² + 2x + 2 и остаток 7. Показываем, зачем нужен нуль вместо пропущенного члена с x² и как строка «снести, умножить, сложить» работает.
Частное равно x² − 4, остаток 0, значит, x − 2 делит многочлен нацело. Берём c = 2, сносим 1 и дальше умножаем и складываем по коэффициентам.
Частное равно x² + 2x, остаток равен 5, поэтому x³ − 4x + 5 = (x − 2)(x² + 2x) + 5. Пропущенный член x² записываем нулём, а в таблице берём c = 2.
Частное равно x² − 5x + 6, остаток 0, поэтому кубический многочлен раскладывается как (x + 1)(x − 2)(x − 3). Заметьте: делителю x + 1 отвечает c = −1, а не c = 1.
Частное равно x² + x + 2, остаток 0. У кубического многочлена нет слагаемого с x, поэтому в соответствующий столбец нужно поставить ноль-заполнитель.
Частное равно x² + 4x − 2, остаток −10, поэтому кубический многочлен равен (x − 1)(x² + 4x − 2) − 10. Ненулевой остаток означает, что x − 1 не является множителем.
Решение: x = 300, y = 140. Деление уравнений на 8 и на 6 даёт x + y = 440 и x + 2y = 580; вычитание сразу выделяет y.
Ответ: x = 35, y = 5. Раскрываем скобки и получаем 3x − 2y = 95 и 2x + y = 75; выражаем y из второго уравнения и подстановкой приходим к 7x = 245.
Действительных решений нет. Первое неравенство даёт −3 < x < 2, второе — x < −6 или x > 2, и эти два множества решений нигде не перекрываются.
z = 14/13, а пары равны ((28 ∓ √595)/13, (14 ± √595)/13). Приём в том, что второе уравнение сводится к удвоенному третьему, и это сразу определяет z.
Сложение уравнений даёт 2y = 12, откуда y = 6; обратная подстановка требует x² = −4, чего не бывает у вещественных чисел. Вещественных решений нет.
Третий сплав весит 150 кг. Составляем баланс по меди: 0,40(100) + 0,55m = 0,45(100 + m), откуда m = 50 кг второго сплава в дополнение к первым 100 кг.
Это числа 16, 17 и 18. Если обозначить их n−1, n, n+1, сумма окажется ровно 3n, поэтому n = 51/3 = 17, и среднее число находится сразу.
По одной розе каждого цвета стоят 6.00. Две белые и одна жёлтая — 5, две белые и три красные — 10.50, три жёлтые и две красные — 11; решаем подстановкой.
Система несовместна. После исключения b и c все слагаемые с a сокращаются и остаётся ложное равенство 2 = 100, поэтому подходящей тройки (a, b, c) нет.
Решение: x ≈ 0.21936, y ≈ −0.14766, z ≈ 0.07169. Подстановка z = x + y сводит три уравнения к двум, а коэффициент 25.33333 как 76/3 даёт точные дроби.
Числа мест образуют арифметическую прогрессию с u1 = 15, d = 4, n = 30, поэтому в последнем ряду 131 место, а всего (30/2)(15 + 131) = 2190 мест.
Суммарный объём равен 16.6xy кубометра, то есть 249 м³ при x = 5 и y = 3. Утроение обеих сторон дна увеличивает его площадь в 9 раз, а не в 3.
Ответ: 77 км/ч. Если записать расстояние как 10v, остаток пути окажется ровно v километров, и уравнение опоздания сведётся к v/(v − 7) = 11/10.
Результат: f(x) = 2|x + 5| − 8. Сдвиг вправо на 1 заменяет x на x − 1 и переносит вершину из (−6, −1) в (−5, −1), а сдвиг на 7 вниз даёт (−5, −8).
Результат: f(x) = |x − 3| + 9, а вершина переезжает из (1, 5) в (3, 9). Меняются обе константы: 1 внутри модуля становится 3, а 5 снаружи становится 9.
Результат: f(x) = |x − 6| + 3, вершина переезжает из (4, −3) в (6, 3). Горизонтальный сдвиг идёт внутрь модуля со знаком минус, вертикальный — наружу с плюсом.
Ответ: f(x) = |x − 6| + 6, вершина переезжает из (4; 0) в (6; 6). Свободного слагаемого изначально не было, поэтому сдвиг вверх и даёт внешнюю константу.
Замена x на x + 4 даёт |(x + 4) − 5| = |x − 1|, и вершина переезжает из x = 5 в x = 1. Сдвиг влево записывается плюсом внутри функции.
Вертикальный сдвиг вычитает вне модуля, поэтому получается |x + 2| − 3. Вершина опускается из (−2, 0) в (−2, −3), и график теперь дважды пересекает ось x.
Получается f(x) = |x + 8| + 8. Горизонтальный сдвиг записывается внутри модуля с противоположным знаком, вертикальный — снаружи с тем же знаком.
Ответ: f(x) = |x − 2| + 4 с вершиной (2, 4). От исходного |x| правило видно сразу: h входит внутрь модуля со знаком минус, k прибавляется снаружи.
Подходящих q, r, s не существует. При p = 1 первый конъюнкт сводится к r ∧ ¬s, второй к s ∨ ¬r, и эти требования противоречат друг другу, так что формула ложна всегда.
Скорости равны 12 км/ч и 15 км/ч. Уравнение 120/x − 120/(x+3) = 2 приводится к x² + 3x − 180 = 0, положительный корень которого равен x = 12.
Ответ: x = 3/5 и y = 9/5. Из второго уравнения сразу следует x = y/3 без всяких дробей, и подстановка приводит первое к виду (10/3)y = 6.
Решений нет. У обоих выражений угловой коэффициент 0,055, поэтому их разность при любом x равна постоянной 2440 — это параллельные прямые, которые не пересекаются.
Ответ: 4 дня. За два дня в одиночку остаётся 3/5 дома, а совместная производительность 3/10 в день закрывает этот остаток ровно за два дня.
Прямая: y = −3x + 689. Это уравнение по двум точкам (362, −397) и (366, −409); умножение крест-накрест и деление на 4 дают угловой коэффициент −3.
По одной каждого цвета — 6 фунтов: белая 1.50, жёлтая 2.00, красная 2.50. Подстановка y = 5 − 2w в третье уравнение сводит систему к одному уравнению с w.
Одна банка стоит 18 долларов. Все трое внесли поровну, поэтому справедливая доля — это среднее; первый взял на 8 банок больше, и 144, делённое на 8, даёт цену.
Значение равно 2. По теореме Виета x₁ + x₂ = −3 и x₁x₂ = −5, поэтому выражение равно −3 − (−5) = 2, и иррациональные корни искать не нужно.
Подходит любое действительное m. После перестановки получаем m ≤ x² − x + 1, а при x > 0 это выражение не ограничено сверху, поэтому достаточно взять большой x.
Сумма после n недель равна 42 + 8(n − 1) = 8n + 34. Из 8n + 34 ≥ 400 следует n ≥ 45,75, поэтому первой подходит 46-я неделя с суммой 402 доллара.
Условие означает, что z²⁰²⁵ равно своему сопряжённому, то есть действительно. В полярной форме отсюда arg(z) = kπ/2025 при целом k или z = 0, модуль любой.
При нечётном n множитель a + b есть всегда, а знаки во втором сомножителе чередуются. При чётном n общего разложения нет, хотя n = 6 раскладывается через кубы.
Критические точки 0, 2/3 и 1 разбивают прямую на четыре промежутка; проверка одной точки в каждом показывает, что дробь положительна на (−∞, 0) и (2/3, 1).
Верен только вариант C. В A «минимум» непостоянен, в B он не достигается при x > 1, а в D значение 1 — это максимум, а не минимум, так как 4x − 5 отрицательно.
Это ступенчатая функция. Каждая следующая унция или её часть стоит полные 0.20, поэтому итог скачком растёт на границах целых унций и между ними не меняется.
Верны A и C. Произведение ab пробегает (−4; 2), а не (−2; 2), а вариант D сводится к (a + 2)(b − 1) < 0, где оба множителя положительны, значит он ложен.
У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Считывая m из y = mx + b, видим, что коэффициент 4 только у y = 4x + 7; вариант с −1/4 перпендикулярен.
Верно только утверждение 2. Записываем каждую разность как A − B = A ∩ B', применяем законы де Моргана и сравниваем: остальные три ломаются на объединении и дополнении.
Верны утверждения B и C. У xy максимум 1/4, а не минимум, а у √x + √y максимум равен √2, а не 2, поскольку его квадрат равен 1 + 2√(xy) ≤ 2.
Из u5 − u2 = 3d получаем d = 6 и u1 = −5. Уравнение −5 + 6(n − 1) = 103 даёт n = 19, а проверка u19 = −5 + 108 = 103 это подтверждает.
Все три коэффициента кратны 5, поэтому левая часть всегда делится на 5, а 21,806 даёт остаток 1. Над действительными числами множество решений — плоскость.
Дискриминант равен −16, то есть отрицателен, поэтому действительных корней и линейных множителей нет. Над комплексными числами разложение всё же существует.
Да: вычитая uₙ₋₁ = u₁ + (n−2)d из uₙ = u₁ + (n−1)d, получаем ровно d. Это равенство характеризует арифметическую прогрессию и для других последовательностей неверно.
Ни 1, ни −1 не корни, поэтому многочлен неприводим над рациональными. Производная 3x² − 6x + 5 всюду положительна, значит функция строго возрастает.
Все четыре кандидата из теоремы о рациональных корнях не подходят, значит над Q многочлен неразложим — хотя три действительных корня есть: −0,391, 1,227 и 4,164.
Значение x = 3 исключено, потому что обращает знаменатель (x − 3)(x + 3) в нуль и даёт неопределённость 0/0. Сокращение x − 3 оставляет в точке x = 3 выколотую точку.
Разложения нет. Как квадратный трёхчлен относительно x он имеет дискриминант 16y(y − 1), не являющийся квадратом многочлена, в отличие от привычного x² − 4xy + 4y².
256/625 = (4/5)⁴, поскольку 256 = 4⁴ и 625 = 5⁴. Показатели совпали, поэтому дробь сворачивается в одну степень числа 4/5 или записывается как 2⁸/5⁴.
Ответ: 81/16 = (3/2)⁴. Раскладываем 81 = 3⁴ и 16 = 2⁴, затем применяем aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ. В десятичной записи 81/16 = 5,0625 — не степень целого числа.
Ответ: x + 66 при x ≥ −66 и −x − 66 при x < −66. Точку разбиения находим из уравнения x + 66 = 0 — именно там подмодульное выражение меняет знак.
Ответ: x² при x ≥ 0 и −x² при x < 0. Разбиение в нуле снимает модуль, а получившаяся функция нечётна и возрастает на всей числовой прямой.
Уравнение 2((2w + 2) + w) = 64 даёт ширину 10 м и длину 22 м. Главное — перевести «на 2 больше удвоенной ширины» в 2w + 2, а не в 2(w + 2).
Уравнение 2((3w + 4) + w) = 96 даёт ширину 11 м и длину 37 м. Схема перевода условия в уравнение та же, что и в варианте 2w + 2, меняется только множитель.
Ответ: −4x + 4y + 5. Минус перед скобкой умножает каждое слагаемое внутри на −1, поэтому меняются знаки всех трёх слагаемых, включая последнее.
Ответ: x = 6. Приравняв уравнения, получаем 2x² − 24x + 64 − a = 0, а одна точка пересечения означает нулевой дискриминант, поэтому x = 24/4 = 6.