Решите уравнение x³ − 6x² + 11x − 6 = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть и проверяем рациональные корни. Получается уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 7 = 0$, рациональные кандидаты — делители числа $7$:

   $f(1) = -1, \quad f(-1) = -25, \quad f(7) = 119, \quad f(-7) = -721$

   Ни один из них не обращает многочлен в ноль. Стоит отметить, что замена $-6$ на $-7$ разрушает красивую разложимость исходного выражения — при $x = 1$ теперь недостаёт ровно $1$.

2. 2

   Используем структуру левой части. Многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ — это классическое произведение трёх последовательных линейных множителей:

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

   Таким образом, уравнение принимает вид $(x-1)(x-2)(x-3) = 1$ — произведение трёх множителей, отличающихся на $1$, равно $1$.

3. 3

   Делаем замену, центрируя на среднем множителе. Пусть $y = x - 2$, тогда множители примут вид $y+1$, $y$, $y-1$:

   $(y+1)\,y\,(y-1) = y\left(y^2-1\right) = y^3 - y$

   $\Longrightarrow \quad y^3 - y = 1, \quad \text{т.е.} \quad y^3 - y - 1 = 0$

   Такое смещение к центру симметрии множителей автоматически убирает квадратный член — не требуется депрессия куба по Кардано.

4. 4

   Определяем число действительных корней депрессивного кубического уравнения. Для $y^3 + py + q$ при $p = -1$, $q = -1$ дискриминант равен

   $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = 4 - 27 = -23 < 0$

   Значит, у $y^3 - y - 1 = 0$ ровно один действительный корень и пара комплексно-сопряжённых. Этот корень — пластическое число $\rho$.

5. 5

   Вычисляем действительный корень. По формуле Кардано:

   $\rho = \sqrt[3]{\frac12 + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac12 - \sqrt{\frac{23}{108}}} = 1.3247179572\ldots$

   Метод Ньютона для $y^3 - y - 1$ при $y_0 = 1.3$ даёт то же значение с точностью до 39 знаков, подтверждая результат.

6. 6

   Возвращаемся к исходной переменной и проверяем. Так как $x = y + 2$,

   $x = 2 + \rho \approx 3.3247179572$

   Подставляя в исходное: $(x-1)(x-2)(x-3) \approx (2.3247)(1.3247)(0.3247) = 1.0000$, а вычисление $x^3-6x^2+11x-6$ с точностью до 40 знаков даёт $0.99999999999999999999999999999999999999$. Действительный корень единственный.