Функцию f(x) = |x − 4| сдвинули на 6 единиц вверх и на 2 единицы вправо. Запишите уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Отмечаем исходное положение. Так как за знаком модуля нет никакой константы, у функции $f(x)=|x-4|$ вершина находится в точке

   $(4,0)$

   то есть прямо на оси $x$, а её ветви поднимаются с угловыми коэффициентами $-1$ и $+1$.

2. 2

   Сдвигаем на 2 единицы вправо. Заменяем $x$ на $x-2$ внутри функции:

   $\left|(x-2)-4\right|=|x-6|$

   Два вычитания складываются в один сдвиг на $6$, поэтому излом теперь при $x=6$.

3. 3

   Сдвигаем на 6 единиц вверх. Прибавляем $6$ к значению функции:

   $|x-6|+6$

   Поскольку у исходной функции вертикальной константы не было, именно этот сдвиг и создаёт $+6$.

4. 4

   Записываем итоговое уравнение и вершину.

   $f(x)=|x-6|+6,\qquad \text{вершина }(6,6)$

5. 5

   Проверяем и отмечаем следствие. Точка $(4,0)$ должна перейти в $(6,6)$, и действительно $|6-6|+6=6\;\checkmark$; точка $(0,4)$ должна перейти в $(2,10)$, и $|2-6|+6=4+6=10\;\checkmark$. Так как наименьшее значение теперь равно $6>0$, сдвинутый график оси $x$ уже не касается, тогда как исходный касался её ровно один раз, — заметное изменение поведения, вызванное исключительно вертикальным сдвигом.