Решить уравнение четвёртой степени u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём разложение на два квадратных трёхчлена с неизвестными коэффициентами. Вместо поиска корней по отдельности, предположим, что многочлен четвёртой степени раскладывается на два приведённых квадратных трёхчлена с целыми коэффициентами:

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 + au + b\right)\left(u^2 + cu + d\right)$

   Такой подход удобен, потому что удачное разложение сразу даёт все четыре корня.

2. 2

   Раскроем скобки и приравняем коэффициенты. Перемножая правую часть, получаем:

   $u^4 + (a+c)u^3 + (ac+b+d)u^2 + (ad+bc)u + bd$

   Значит, неизвестные должны удовлетворять системе:

   $a + c = -6, \quad ac + b + d = 8, \quad ad + bc = 6, \quad bd = -9$

3. 3

   Переберём целые значения для b и d. Так как $bd = -9$, возможные пары: $(\pm1, \mp9)$, $(\pm3, \mp3)$, $(\pm9, \mp1)$. Подставим $b = -1$, $d = 9$ — тогда второе уравнение упрощается:

   $ac - 1 + 9 = 8 \quad \Longrightarrow \quad ac = 0$

   Значит, один из коэффициентов $a$ или $c$ равен нулю — это сильно упрощает задачу, поэтому эту пару стоит проверить в первую очередь.

4. 4

   Дорешаем систему и проверим все четыре уравнения. При $ac = 0$ возьмём $a = 0$, тогда $c = -6$. Проверим:

   $ad + bc = 0 \cdot 9 + (-1)(-6) = 6 \ \checkmark$

   Все четыре условия выполняются, значит

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 - 1\right)\left(u^2 - 6u + 9\right)$

   Проверим раскрытием: $u^4 - 6u^3 + 9u^2 - u^2 + 6u - 9$, что совпадает с исходным многочленом.

5. 5

   Разложим каждую квадратную скобку полностью. Первый множитель — разность квадратов, второй — полный квадрат:

   $u^2 - 1 = (u-1)(u+1), \qquad u^2 - 6u + 9 = (u-3)^2$

   $\Longrightarrow \quad (u-1)(u+1)(u-3)^2 = 0$

6. 6

   Запишем корни и их кратности.

   $u = 1, \qquad u = -1, \qquad u = 3 \ \text{(двойной корень)}$

   Подставляя, убеждаемся: при $u=1$ получаем $1-6+8+6-9=0$, при $u=-1$ — $1+6+8-6-9=0$, при $u=3$ — $81-162+72+18-9=0$. Так как $u = 3$ — корень кратности два, график касается оси $u$ в этой точке, не пересекает её. Сумма корней с учётом кратности: $1 - 1 + 3 + 3 = 6$, что совпадает с $-(-6)/1$.