Решить разложением на множители уравнение (2x − 1)(2x − 1) − x · x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем повторяющиеся произведения как квадраты. Два одинаковых множителя и два одинаковых $x$ — это всего лишь квадраты, расписанные подробно:

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   Увидеть квадраты — здесь весь фокус; раскрыть скобки до $3x^2 - 4x + 1$ тоже можно, но тогда структура выражения теряется.

2. 2

   Подгоняем выражение под формулу разности квадратов. Формула такая:

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   здесь $a = 2x - 1$ и $b = x$. То, что $a$ сам является двучленом, не мешает: формуле важно лишь, чтобы каждое слагаемое было полным квадратом.

3. 3

   Применяем формулу и упрощаем каждую скобку.

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   Обратное раскрытие скобок даёт $3x^2 - 4x + 1$, что совпадает с раскрытием исходного выражения.

4. 4

   Пользуемся условием равенства произведения нулю. Произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен один из множителей:

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   Проверяем оба корня в исходной записи. При $x = 1$: $(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$. При $x = \tfrac13$: $\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$. Оба подходят, значит множество решений — $\left\{1, \tfrac13\right\}$.