Решите уравнение: корень из (x²−6x+25) равен 3 минус x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем условие области определения. Корень квадратный не может быть отрицательным, поэтому возможные значения $x$ должны удовлетворять неравенству $3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.$ Пропуск этого шага часто приводит к появлению посторонних корней в подобных задачах.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат. Получаем: $x^2-6x+25 = (3-x)^2 = 9-6x+x^2.$

3. 3

   Сократим одинаковые слагаемые. В обеих частях уравнения встречаются $x^2$ и $-6x$, которые сокращаются, остаётся $25 = 9.$

4. 4

   Интерпретируем противоречие. Ни при каком $x$ равенство $25=9$ не выполняется, значит, полученное уравнение — а значит и исходное — не имеет решений.

5. 5

   Поясним геометрически. $\sqrt{x^2-6x+25} = \sqrt{(x-3)^2+16}$ — это расстояние от точки $(x,0)$ до $(3,4)$, которое всегда не меньше $4$; при этом $3-x$ должно быть равно этому расстоянию. Сравнивая $\sqrt{(x-3)^2+16}$ и $3-x$, видно, что $(x-3)^2+16 > (3-x)^2$ для любого $x$. Левая часть всегда строго больше.

6. 6

   Сравним с похожей задачей. Если заменить правую часть на константу $5$, получится $\sqrt{x^2-6x+25}=5$, у которой есть решения $x=0$ и $x=6$. Именно переменная правая часть приводит здесь к противоречию.