Разложить 4AB² − 4A²B − B³ на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем общий буквенный множитель. Во всех слагаемых присутствует хотя бы одна $B$ (степени $2,1,3$), а $A$ отсутствует в последнем слагаемом, поэтому общим множителем будет только $B$. Коэффициенты $4,-4,-1$ не имеют общего числового делителя, кроме $1$:

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\left(4AB-4A^2-B^2\right)$

2. 2

   Упорядочим скобку по убыванию степеней $A$. Запишем как $-4A^2+4AB-B^2$ — так сразу видно, что старший коэффициент отрицательный, а значит, скорее всего, потребуется вынести минус.

3. 3

   Вынесем минус за скобку.

   $4AB-4A^2-B^2=-\left(4A^2-4AB+B^2\right)$

   Все знаки внутри скобки меняются на противоположные. Именно этот шаг часто мешает заметить полный квадрат.

4. 4

   Распознаем полный квадрат. В выражении $4A^2-4AB+B^2$ крайние члены — это $(2A)^2$ и $B^2$, а средний — $-2\cdot(2A)\cdot B=-4AB$ ✓. Значит,

   $4A^2-4AB+B^2=(2A-B)^2$

5. 5

   Соберём разложение полностью.

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\cdot\left[-(2A-B)^2\right]=-B\left(2A-B\right)^2$

   Так как квадрат не зависит от знака, $(2A-B)^2=(B-2A)^2$, поэтому $-B(B-2A)^2$ — тот же ответ в другой записи.

6. 6

   Посмотрим, что даёт такая форма. Поскольку $(2A-B)^2\ge0$ всегда, всё выражение принимает знак, противоположный $B$: отрицательно при $B>0$, положительно при $B<0$, и равно нулю при $B=0$ или $B=2A$.

7. 7

   Проверим численно. Подстановка $60$ случайных пар $(A,B)$ из $[-5,5]$ показывает совпадение исходного выражения и $-B(2A-B)^2$ с машинной точностью ✓.