Упростите 4a⁻¹⁰ · a · d, записав ответ с положительными показателями степени.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим неявный показатель степени. Одинокая $a$ на самом деле равна $a^{1}$ — здесь подразумевается показатель $1$. Явная запись этого показателя позволяет применить правило сложения показателей:

   $4a^{-10}\cdot a^{1}\cdot d$

   Множители $4$ и $d$ не содержат $a$, поэтому на этом этапе они остаются без изменений.

2. 2

   Сложим показатели степени одинакового основания. Применяется правило: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ — только для степеней с одинаковым основанием:

   $a^{-10}\cdot a^{1}=a^{-10+1}=a^{-9}$

   Показатели именно складываются, а не перемножаются — $a^{-10}\cdot a^{1}$ не равно $a^{-10}$. Теперь выражение имеет вид $4a^{-9}d$.

3. 3

   Преобразуем отрицательный показатель. По определению, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$, то есть отрицательный показатель указывает на то, что множитель должен перейти в знаменатель дроби:

   $4a^{-9}d=\frac{4d}{a^{9}}$

   Только $a$ переходит в знаменатель. $4$ и $d$ уже имеют положительные показатели и остаются в числителе — часто ошибочно переносят и коэффициент $4$ вниз.

4. 4

   Укажем область допустимых значений. В исходном выражении есть $a^{-10}$, что не определено при $a=0$, как и $\dfrac{4d}{a^{9}}$. Упрощение корректно при всех $a\neq0$ и любых $d$.

5. 5

   Проверим на числовых примерах. Подставляя $a=1{,}3,\,2{,}7,\,-1{,}9$ и $d=2,\,-3{,}5$, убеждаемся, что $4a^{-10}\cdot a\cdot d$ и $\dfrac{4d}{a^{9}}$ совпадают с точностью до $10^{-9}$ во всех шести комбинациях ✓. Обратите внимание: нечётный показатель $9$ сохраняет знак $a$, поэтому результат отрицателен при $a<0$ и $d>0$.