Решите двойное неравенство: -2 < (2x - 3)/(x + 1) ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя умножать обе части на $x+1$ сразу. Его знак заранее неизвестен, поэтому при умножении потребуется разбирать случаи и следить за изменением знака неравенства. Вместо этого разбиваем цепочку на два отдельных неравенства и сразу отмечаем ограничение области определения: $x\ne-1$.

2. 2

   Решим левую часть, перенеся всё в одну сторону.

   $\frac{2x-3}{x+1}+2>0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3+2(x+1)}{x+1}>0\;\Longrightarrow\;\frac{4x-1}{x+1}>0$

   Критические точки: $x=\tfrac14$ и $x=-1$. Проверим знаки: при $x=-2$ получаем $\tfrac{-9}{-1}>0$, при $x=0$ — $-1<0$, при $x=1$ — $\tfrac32>0$. Значит, левая часть выполняется на $(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)$.

3. 3

   Решим правую часть аналогично.

   $\frac{2x-3}{x+1}-1\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3-(x+1)}{x+1}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{x-4}{x+1}\le0$

   Критические точки: $x=4$ (разрешено, так как неравенство нестрогое) и $x=-1$ (недопустимо по ОДЗ). Проверим знаки: при $x=-2$ — $6>0$, при $x=0$ — $-4<0$, при $x=5$ — $\tfrac16>0$. Значит, правая часть выполняется на $(-1,4]$.

4. 4

   Пересечём оба множества решений. Число должно удовлетворять обоим условиям:

   $\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)\right]\cap(-1,4]=\left(\tfrac14,\,4\right]$

   Ветка $(-\infty,-1)$ исчезает, так как правая часть исключает всё меньше $-1$.

5. 5

   Проверим граничные значения численно. При $x=0{,}26$ частное равно $-1{,}968$, что удовлетворяет $-2<\cdot\le1$; при $x=0{,}2$ — $-2{,}167$, что не подходит по левой части. При $x=4$ частное точно $1$ (входит в решение); при $x=4{,}1$ — $1{,}0196$, что уже не подходит по правой части. Границы ведут себя так, как заявлено.

6. 6

   Запишем окончательный ответ в виде интервала.

   $x\in\left(\frac14,\,4\right]$