Разделите x³ − 2x + 3 на x − 2 по схеме Горнера.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем коэффициенты, поставив нуль вместо пропущенной степени. Схема Горнера работает только с позициями коэффициентов, поэтому каждая степень от $3$ до $0$ должна иметь свою клетку. Записав многочлен как

   $x^3 + 0x^2 - 2x + 3$

   получаем строку $1, \ 0, \ -2, \ 3$. Пропустить $0$ — значит сдвинуть всё остальное; это классическая ошибка здесь.

2. 2

   Определяем делитель схемы по линейному множителю. Для делителя $x - r$ берут само число $r$, поэтому для $x - 2$ делим на $2$ (именно на положительное $2$, так как $r$ — корень уравнения $x - 2 = 0$). Делитель вида $x + 2$ означал бы $r = -2$.

3. 3

   Выполняем проходы «умножить и сложить». Сносим старший коэффициент $1$, затем последовательно умножаем на $2$ и прибавляем к следующему коэффициенту:

   $1 \ \rightarrow\ 0 + 2(1) = 2 \ \rightarrow\ -2 + 2(2) = 2 \ \rightarrow\ 3 + 2(2) = 7$

   Заполненная таблица выглядит так:

   $\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ & & 2 & 4 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 7 \end{array}$

4. 4

   Читаем нижнюю строку. Последнее число — остаток; предыдущие числа — коэффициенты частного, степень которого на единицу меньше. Из $1, 2, 2$ и остатка $7$ получаем:

   $\frac{x^3 - 2x + 3}{x - 2} = x^2 + 2x + 2 + \frac{7}{x - 2}$

5. 5

   Проверяем теоремой Безу и обратным умножением. Остаток обязан равняться $f(2)$:

   $f(2) = 8 - 4 + 3 = 7 \ \checkmark$

   А раскрытие скобок подтверждает всё тождество целиком:

   $(x-2)(x^2 + 2x + 2) + 7 = x^3 - 2x - 4 + 7 = x^3 - 2x + 3 \ \checkmark$

   Так как остаток не равен $0$, двучлен $x - 2$ не является делителем многочлена $x^3 - 2x + 3$.