Верно ли, что u_n − u_(n−1) = d для арифметической прогрессии? Докажите это и укажите, когда равенство перестаёт быть верным.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем формулу общего члена. Арифметическая прогрессия с первым членом $u_{1}$ и разностью $d$ задаётся формулой

   $u_{n}=u_{1}+(n-1)d\qquad (n\ge 1)$

   Это явная (нерекуррентная) запись; доказать же требуется рекуррентное соотношение, спрятанное внутри неё.

2. 2

   Записываем предыдущий член, заменив $n$ на $n-1$.

   $u_{n-1}=u_{1}+\left((n-1)-1\right)d=u_{1}+(n-2)d\qquad (n\ge 2)$

   Ограничение $n\ge 2$ существенно: в последовательности, нумерация которой начинается с $1$, члена $u_{0}$ попросту нет.

3. 3

   Вычитаем одно выражение из другого. Слагаемые $u_{1}$ сокращаются, а коэффициенты при $d$ отличаются ровно на единицу:

   $u_{n}-u_{n-1}=\left[u_{1}+(n-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-2)d\right]=\left[(n-1)-(n-2)\right]d=d$

   Итак, да, равенство верно при любом $n\ge 2$, и результат $d$ не зависит от $n$ — разрыв между соседними членами всюду одинаков.

4. 4

   Обобщаем на несоседние члены. То же вычитание с произвольными номерами даёт

   $u_{m}-u_{n}=\left[u_{1}+(m-1)d\right]-\left[u_{1}+(n-1)d\right]=(m-n)d$

   а равенство $u_{n}-u_{n-1}=d$ — это частный случай при $m=n$ и $n\to n-1$.

5. 5

   Проверяем на конкретной прогрессии. При $u_{1}=3$ и $d=2$ имеем $u_{2}=5$, $u_{3}=7$, $u_{4}=9$. Тогда $u_{4}-u_{3}=9-7=2=d$ ✓ и $u_{4}-u_{2}=9-5=4=(4-2)d$ ✓.

6. 6

   Формулируем обратное утверждение и случай, когда равенство неверно. Это соотношение не просто следствие того, что прогрессия арифметическая, — оно её характеризует: если разность $u_{n}-u_{n-1}$ одна и та же при всех $n$, то последовательность арифметическая. Для произвольной же последовательности разность соседних членов вовсе не обязана быть постоянной: например, при $u_{n}=n^{2}$ она равна $u_{n}-u_{n-1}=2n-1$ и меняется вместе с $n$. Поэтому формулой можно пользоваться лишь тогда, когда уже известно, что прогрессия арифметическая.