Решите неравенство 1 − (x + 6)/2 < (2x + 1)/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим наименьший общий знаменатель. Знаменатели равны $2$ и $3$, значит общий знаменатель — $6$. Так как $6>0$, умножение обеих частей на него сохраняет знак неравенства; именно этот шаг убирает сразу все дроби, а не по одной.

2. 2

   Умножаем каждое слагаемое на 6 и упрощаем коэффициенты.

   $6\cdot 1-6\cdot\frac{x+6}{2}<6\cdot\frac{2x+1}{3}\ \Longrightarrow\ 6-3(x+6)<2(2x+1)$

   Здесь $6/2=3$ и $6/3=2$, а отдельно стоящая $1$ превращается в $6$ — слагаемое без знаменателя тоже умножается.

3. 3

   Раскрываем скобки в обеих частях. Множитель $-3$ распространяется на оба слагаемых в $(x+6)$:

   $6-3x-18<4x+2\ \Longrightarrow\ -3x-12<4x+2$

   Запись $6-3x+18$ была бы классической ошибкой в знаке.

4. 4

   Переносим слагаемые с $x$ вправо, чтобы коэффициент остался положительным. Прибавим $3x$ к обеим частям:

   $-12<7x+2$

   Затем вычтем $2$:

   $-14<7x$

5. 5

   Делим на 7 и записываем множество решений. Так как $7>0$, знак неравенства не меняется:

   $-2<x\ \Longrightarrow\ x>-2,\qquad\text{т. е. }(-2,\infty)$

6. 6

   Проверяем границу и одну внутреннюю точку. При $x=-2$: слева $=1-2=-1$ и справа $=\tfrac{-3}{3}=-1$, то есть части равны — граница исключается, как и требует строгое неравенство. При $x=0$: слева $=1-3=-2$, справа $=\tfrac13$, и $-2<\tfrac13$ ✓.