Решить неравенство (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем $10^x$ к простым основаниям. Так как $10=2\cdot 5$, имеем $10^x=2^x\cdot 5^x$. Тогда числитель принимает вид $2^x5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50$ — четыре слагаемых, которые удобно сгруппировать.

2. 2

   Вынесем общий множитель в числителе. Группируем: $2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$, что даёт $(2^x-2)(5^x-25)$. Нули числителя: $2^x=2\Rightarrow x=1$ и $5^x=25\Rightarrow x=2$.

3. 3

   Разложим знаменатель на множители. $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$. Знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=4$, значит, эти значения не входят в область определения. Заметим, что $x=1$ — общий корень числителя и знаменателя, поэтому он не входит в решение.

4. 4

   Определим знак каждого множителя. В числителе: $2^x-2<0$ при $x<1$, $5^x-25<0$ при $x<2$, значит, числитель положителен на $(-\infty,1)$, отрицателен на $(1,2)$ и снова положителен на $(2,\infty)$. Знаменатель $(x-1)(4-x)$ отрицателен на $(-\infty,1)$, положителен на $(1,4)$ и снова отрицателен на $(4,\infty)$.

5. 5

   Строим таблицу знаков по областям. $(-\infty,1)$: $+/-=-$. $(1,2)$: $-/+=-$. $(2,4)$: $+/+=+$. $(4,\infty)$: $+/-=-$. Только на промежутке $(2,4)$ дробь неотрицательна. При $x=2$ числитель равен нулю, знаменатель отличен от нуля, значит, $x=2$ включается.

6. 6

   Проверим точку внутри промежутка и граничное значение. При $x=3$ числитель: $1000-200-250+50=600$, знаменатель: $15-9-4=2$, получаем $300\ge 0$, как и ожидалось. При $x=2$ числитель: $100-100-50+50=0$, знаменатель: $2$, значит, дробь равна нулю — неравенство выполняется.