Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 удовлетворяет a - 2b + 4c = 0 и имеет два равных действительных корня. Какой вывод верен: a = b, a = c, b = c или c = 4a?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие «два равных действительных корня» в алгебраическую форму. У квадратного уравнения совпадающие корни бывают тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю:

   $\Delta=b^2-4ac=0\ \Longrightarrow\ b^2=4ac$

   (При этом $a\neq 0$, иначе уравнение не квадратное.)

2. 2

   Преобразуем данное линейное соотношение, выразив $b$. Из $a-2b+4c=0$:

   $2b=a+4c\ \Longrightarrow\ b=\frac{a+4c}{2}$

   Коэффициент $2$ перед $b$ — явная подсказка: $b$ удобно исключить.

3. 3

   Подставим выражение для $b$ в условие на дискриминант.

   $\left(\frac{a+4c}{2}\right)^2=4ac$

   Умножим обе части на $4$:

   $(a+4c)^2=16ac$

4. 4

   Раскроем скобки и заметим полный квадрат.

   $a^2+8ac+16c^2=16ac$

   $a^2-8ac+16c^2=0$

   $(a-4c)^2=0\ \Longrightarrow\ a=4c$

5. 5

   Сделаем ещё один шаг, чтобы получить вариант из списка. Связь $a=4c$ не представлена среди вариантов, поэтому подставим её в $2b=a+4c$:

   $2b=4c+4c=8c\ \Longrightarrow\ b=4c$

   Поскольку $a=4c$ и $b=4c$, получаем $a=b$ — вариант (A).

6. 6

   Проверим на конкретном примере. Пусть $c=1$, тогда $a=b=4$: уравнение $4x^2+4x+1=0$. Дискриминант: $4^2-4(4)(1)=16-16=0$ $\checkmark$ (совпадающий корень $x=-\tfrac12$), а дополнительное условие: $4-2(4)+4(1)=4-8+4=0$ $\checkmark$. Заметим, что $c=4a$ (вариант D) означало бы $1=16$, что неверно — правильная связь обратная: $a=4c$.