Упростить x² минус 3, умноженное на квадрат выражения (x/2 плюс корень из 5).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала возведём скобку в квадрат — степень «сильнее» множителя 3. По формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ при $a=\frac{x}{2}$ и $b=\sqrt5$:

   $a^2=\frac{x^2}{4},\qquad 2ab=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\sqrt5=x\sqrt5,\qquad b^2=(\sqrt5)^2=5$

   поэтому $\left(\frac{x}{2}+\sqrt5\right)^2=\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5$. Обратим внимание: $b^2=5$ точно — возведение в квадрат убирает корень.

2. 2

   Умножим полученный квадрат на 3.

   $3\left(\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5\right)=\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15$

   Втрое увеличивается каждое из трёх слагаемых, в том числе и слагаемое с корнем.

3. 3

   Вычитаем, раскрывая минус перед всеми тремя слагаемыми.

   $x^2-\left(\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15\right)=x^2-\frac{3x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

   Именно здесь чаще всего теряют знак: и среднее, и последнее слагаемые становятся отрицательными.

4. 4

   Приведём подобные слагаемые с $x^2$.

   $x^2-\frac{3x^2}{4}=\frac{4x^2-3x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$

   так что упрощённое выражение имеет вид

   $\frac{x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

5. 5

   Проверим при $x=2$. Исходное выражение даёт $4-3\left(1+\sqrt5\right)^2=4-3\left(6+2\sqrt5\right)=4-18-6\sqrt5=-14-6\sqrt5\approx -27.416$. Полученный ответ даёт $1-6\sqrt5-15=-14-6\sqrt5\approx -27.416$ ✓ (здесь $3\sqrt5\approx 6.7082$).