Решите неравенство 3/(x - 2) > 1 и запишите ответ в виде интервала.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя умножать обе части на $x-2$. Знак этого выражения неизвестен: при $x>2$ оно положительно (знак неравенства сохраняется), а при $x<2$ — отрицательно (знак неравенства меняется на противоположный). Умножение без разбора случаев — самая частая ошибка в таких задачах: оно незаметно приводит к $3>x-2$, то есть $x<5$, что ошибочно включает все значения меньше $2$.

2. 2

   Вместо этого перенесём всё в одну часть. Вычтем 1 и приведём к общему знаменателю $x-2$:

   $\frac{3}{x-2}-1>0\ \Longrightarrow\ \frac{3-(x-2)}{x-2}>0\ \Longrightarrow\ \frac{5-x}{x-2}>0$

   Теперь задача сводится к исследованию знака одной дроби — без умножения на выражение с неизвестным знаком.

3. 3

   Найдём критические точки, различая нули числителя и знаменатель. Числитель обращается в ноль при $5-x=0\Rightarrow x=5$; знаменатель — при $x=2$, где выражение не определено. Обе точки делят числовую прямую, но только одна из них может входить в ответ.

4. 4

   Проверим знак выражения на каждом из трёх промежутков.

   $x=0:\ \frac{5}{-2}<0\ \times\qquad x=3:\ \frac{2}{1}>0\ \checkmark\qquad x=6:\ \frac{-1}{4}<0\ \times$

   Подходит только средний промежуток.

5. 5

   Запишем ответ с учётом концов промежутка. $x=2$ исключается, так как выражение не определено, а $x=5$ — потому что в этой точке дробь равна нулю, а неравенство строгое:

   $2<x<5,\qquad (2,5)$

6. 6

   Проверим граничные значения. При $x=2{,}5$: $\dfrac{3}{0{,}5}=6>1$ — подходит ✓. При $x=5$: $\dfrac{3}{3}=1$, не больше $1$, значит $5$ правильно не входит ✓. При $x=1$: $\dfrac{3}{-1}=-3>1$ — неверно, именно этот промежуток ошибочно попал бы в ответ при неправильном умножении.