Решить неравенство 1 − x/3 ≤ 1 − 2x/7 и изобразить множество решений на числовой прямой.

Step-by-step solution

1. 1

   Сократим постоянное слагаемое, стоящее в обеих частях. Вычитание $1$ из каждой части допустимо для неравенства (сложение и вычитание никогда не меняют знак) и сразу убирает свободные члены: $-\frac{x}{3}\le-\frac{2x}{7}.$ Можно было бы сначала избавиться от знаменателей, но сокращение единицы оставляет числа меньшими.

2. 2

   Соберём слагаемые с $x$ в одной части. Прибавим $\dfrac{2x}{7}$ к обеим частям: $-\frac{x}{3}+\frac{2x}{7}\le 0.$ Сбор слева, а не справа, избавляет от лишней смены знака в дальнейшем.

3. 3

   Приведём к общему знаменателю $21$. Так как $\operatorname{lcm}(3,7)=21$, $-\frac{7x}{21}+\frac{6x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad -\frac{x}{21}\le 0.$ Две дроби почти уничтожают друг друга, оставляя единственный коэффициент $-\tfrac{1}{21}$.

4. 4

   Разделим на отрицательный коэффициент и поменяем знак неравенства. Умножение обеих частей на $-21$ разворачивает неравенство: $-\frac{x}{21}\le 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 0.$ Это единственный шаг, где меняется направление знака, и забыть о нём — классическая ошибка: она дала бы неверный ответ $x\le 0$.

5. 5

   Проверим контрольными значениями. При $x=7$ левая часть равна $1-\tfrac73=-1.3\overline{3}$, правая равна $1-2=-1$, и неравенство $-1.333\le-1$ выполняется. При $x=-7$ левая часть равна $1+\tfrac73=3.3\overline{3}$, правая равна $1+2=3$, и $3.333\le 3$ ложно. Значит, неотрицательные $x$ подходят, а отрицательные — нет, как и утверждалось. При $x=0$ обе части равны $1$, поэтому граничная точка входит в ответ.

6. 6

   Опишем картинку на числовой прямой. Поставим закрашенную точку в $0$, показывая, что само число $0$ является решением, и заштрихуем луч вправо, в сторону $+\infty$. В виде промежутка множество решений записывается как $[0,+\infty)$.