Разделите 2x² + 2x + 1 на 2x + 3. Укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Подготовим деление. В $2x^2+2x+1$ присутствуют все степени $x$, поэтому заполнитель не нужен. Делитель $2x+3$ неприведённый, а значит дробные коэффициенты в частном здесь нормальны.

2. 2

   Первый круг. $\dfrac{2x^2}{2x}=x$. Умножаем обратно: $x(2x+3)=2x^2+3x$. Вычитаем: $(2x^2+2x+1)-(2x^2+3x)=-x+1.$

3. 3

   Второй круг. $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$. Умножаем обратно: $-\tfrac12(2x+3)=-x-\tfrac32$. Вычитаем: $(-x+1)-\left(-x-\frac32\right)=1+\frac32=\frac52.$

4. 4

   Остановимся вовремя. Остаток $\tfrac52$ имеет степень $0$, что ниже степени $2x+3$, поэтому процесс завершён: частное $x-\tfrac12$, остаток $\tfrac52$.

5. 5

   Проверим. $\left(x-\frac12\right)(2x+3)+\frac52=2x^2+3x-x-\frac32+\frac52=2x^2+2x+1.$ Обратите внимание: частное совпало с предыдущей задачей, а остаток — нет; изменение свободного члена делителя сдвигает только остаток.