Чему равно частное (x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3)?

Step-by-step solution

1. 1

   Предварительная оценка степени частного. При делении многочленов степени вычитаются: делимое степени 3 и делитель степени 2 дают частное степени $3 - 2 = 1$. Значит, ответ — линейное выражение $x + c$, поэтому сразу можно исключить варианты только с константой или квадратным членом.

2. 2

   Первый шаг: деление на старший член делителя. Для квадратного делителя делить нужно на $x^2$, а не на $x$:

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   Умножим весь делитель на $x$ и вычтем:

   $x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x$

   $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + 4x^2 + 3x) = 2x^2 + 8x + 6$

3. 3

   Второй шаг: степени совпадают — деление продолжается. Остаток начинается с $2x^2$, то есть той же степени, что и делитель:

   $\frac{2x^2}{x^2} = 2$

   Следующий член частного — это константа $2$, а не $2x$. На этом шаге часто ошибаются, путая степень делителя.

4. 4

   Вычитание и проверка окончания деления. Умножим делитель на $2$:

   $2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$

   $(2x^2 + 8x + 6) - (2x^2 + 8x + 6) = 0$

   Остаток равен $0$, значит, частное — ровно $x + 2$.

5. 5

   Проверка разложением на множители. Оба многочлена полностью раскладываются на целые множители:

   $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3), \qquad x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

   Сокращая общие множители $(x+1)(x+3)$, получаем $x + 2$ — это совпадает с ответом по столбику и подтверждает точность деления при $x \neq -1, -3$.