Решить уравнение |7x − 1| = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся, что правая часть неотрицательна. Модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому уравнение $|A|=c$ имеет решения только при $c\ge 0$. Здесь $c=3>0$, а значит, решений будет ровно два (при правой части $0$ было бы одно, при отрицательной — ни одного).

2. 2

   Разобьём на два случая. Равенство $|A|=3$ означает, что выражение под модулем либо на $3$ выше нуля, либо на $3$ ниже:

   $7x-1=3\qquad\text{или}\qquad 7x-1=-3$

   Решать нужно оба; отбрасывание отрицательной ветви — самая частая ошибка.

3. 3

   Решим положительную ветвь.

   $7x-1=3\;\Longrightarrow\;7x=4\;\Longrightarrow\;x=\frac47$

4. 4

   Решим отрицательную ветвь.

   $7x-1=-3\;\Longrightarrow\;7x=-2\;\Longrightarrow\;x=-\frac27$

5. 5

   Подставим обратно и заметим симметрию. При $x=\frac47$: $\left|7\cdot\frac47-1\right|=|4-1|=3$ ✓. При $x=-\frac27$: $\left|7\cdot\left(-\frac27\right)-1\right|=|-2-1|=3$ ✓. Их середина равна $\frac12\left(\frac47-\frac27\right)=\frac17$ — ровно там, где $7x-1=0$, и каждый корень удалён от неё на $\frac37$: ожидаемая зеркальная картина.