Решить уравнение √(x√x) = 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим вложенный корень в одну степень. Пользуемся тем, что $\sqrt{x}=x^{1/2}$, и правилом умножения степеней:

   $x\sqrt x=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}$

   так что уравнение принимает вид $x^{3/4}=2x$.

2. 2

   Определяем область допустимых значений. И $\sqrt{x}$, и внешний корень требуют $x\ge 0$, а тогда и правая часть $2x$ обязана быть $\ge 0$ — противоречия нет. Значит, ищем решения только на $[0,\infty)$.

3. 3

   Отдельно разбираем $x=0$ до деления. При $x=0$ слева $\sqrt{0}=0$, справа тоже $0$, поэтому $x=0$ является решением. Деление на степень $x$ на следующем шаге этот корень уничтожило бы — именно поэтому его проверяют первым.

4. 4

   Делим на $x^{3/4}$ при $x>0$ и решаем.

   $1=2x^{1-3/4}=2x^{1/4}\quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$

5. 5

   Проверяем оба решения в исходном уравнении. При $x=\tfrac1{16}$: $\sqrt{x}=\tfrac14$, поэтому $x\sqrt x=\tfrac1{16}\cdot\tfrac14=\tfrac1{64}$ и $\sqrt{\tfrac1{64}}=\tfrac18$; при этом $2x=\tfrac18$ $\checkmark$. При $x=0$: $0=0$ $\checkmark$. Так как при больших $x$ функция $x^{3/4}$ растёт медленнее, чем $2x$, других пересечений быть не может.