Найдите корень уравнения (x − 4) в квадрате равно (3 − x) в квадрате.

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся правилом равных квадратов, а не раскрытием скобок. Для вещественных чисел

   $A^2=B^2\iff A=B\ \text{или}\ A=-B$

   Рассмотреть надо обе ветви; ограничиться только случаем $A=B$ — стандартный способ потерять корень.

2. 2

   Ветвь 1: $x-4=3-x$.

   $x+x=3+4$

   $2x=7\ \Longrightarrow\ x=\frac{7}{2}$

3. 3

   Ветвь 2: $x-4=-(3-x)$. Раскроем минус перед скобкой:

   $x-4=-3+x$

   Вычитание $x$ из обеих частей оставляет

   $-4=-3$

   а это неверно при любом $x$. Эта ветвь решений не даёт — геометрически прямые $y=x-4$ и $y=x-3$ параллельны и никогда не пересекаются.

4. 4

   Подтверждаем результат раскрытием скобок. Раскроем обе части:

   $x^2-8x+16=9-6x+x^2$

   Члены с $x^2$ сокращаются, остаётся линейное уравнение $-8x+16=9-6x$, то есть $7=2x$, откуда $x=\tfrac72$ — тот же единственный корень. Именно сокращение $x^2$ и объясняет, почему вторая ветвь оказалась пустой.

5. 5

   Проверяем ответ. При $x=\tfrac72$:

   $\left(\tfrac72-4\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   $\left(3-\tfrac72\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   Обе части равны $\tfrac14$, значит $x=\tfrac72$ — единственный корень.