Решить неравенство x² − ax + 1 < 0, где a — произвольный действительный параметр.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала смотрим на геометрию, потом считаем. Обозначим $f(x)=x^2-ax+1$. Старший коэффициент равен $1>0$, поэтому график — парабола ветвями вверх. Такая парабола опускается ниже оси $x$ только тогда, когда она действительно дважды пересекает ось. Значит, вся задача сводится к вопросу: при каких $a$ у $f$ два различных действительных корня и где они расположены?

2. 2

   Вычисляем дискриминант. При $A=1$, $B=-a$, $C=1$:

   $\Delta=B^2-4AC=(-a)^2-4(1)(1)=a^2-4$

   Два различных действительных корня требуют $\Delta>0$, то есть $a^2>4$, то есть $|a|>2$ — значит, $a<-2$ или $a>2$.

3. 3

   Сначала разбираем случай пустого множества. Если $-2\le a\le2$, то $\Delta\le0$. При $\Delta<0$ парабола вовсе не касается оси и $f(x)>0$ всюду; при $\Delta=0$ (то есть при $a=\pm2$) она касается оси в одной точке, где $f=0$, а это всё равно не удовлетворяет строгому неравенству. Итак,

   $-2\le a\le2\ \Longrightarrow\ \text{решений нет}\ (\varnothing)$

   Например, при $a=2$ имеем $f(x)=(x-1)^2\ge0$ — никогда не отрицательно.

4. 4

   Находим корни при |a| > 2. По формуле корней квадратного уравнения

   $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$

   поэтому $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ и $x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$, причём $x_1<x_2$, так как $\sqrt{a^2-4}>0$.

5. 5

   Берём промежуток между корнями. Парабола ветвями вверх отрицательна ровно между своими корнями, поэтому при $|a|>2$:

   $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}<x<\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

   Одна и та же формула охватывает и $a>2$, и $a<-2$; отдельно разбирать отрицательную ветвь не нужно.

6. 6

   Отмечаем структурный факт, который стоит проговорить. Произведение корней равно $\tfrac{C}{A}=1$, то есть $x_1x_2=1$ всегда. Значит, корни взаимно обратны и одного знака: оба положительны при $a>2$ и оба отрицательны при $a<-2$. Поэтому промежуток решений никогда не содержит $0$, что согласуется с $f(0)=1>0$.

7. 7

   Проверяем численно по всем случаям. Для каждого $a\in\{-5,-2.5,-2,-1,0,1,2,2.5,7\}$ значение $f$ вычислялось в $4001$ точке отрезка $[-20,20]$, и сравнение знака с предсказанным множеством не дало ни одного расхождения, а оба корня давали $f=0$ с точностью до $10^{-9}$ всякий раз, когда $|a|>2$ ✓.