Решить уравнение 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим общий множитель x. В каждом слагаемом есть $x$:

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   значит $x = 0$ — корень сразу, а остальные корни даёт кубический множитель.

2. 2

   Не доверяем здесь разложению группировкой. Заманчиво написать $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$. Но скобки получились разные — $3x+8$ и $x+4$, — поэтому группировка не замыкается. Записать вторую скобку как $-4(3x+8)$ означало бы $-12x - 32$, а не $-4x - 16$; именно эта оплошность обычно и приводит к неверному ответу $x = -\tfrac83,\,\pm 2$ для этого уравнения.

3. 3

   Ищем вместо этого рациональный корень кубического множителя. Кандидаты имеют вид $\pm\tfrac{d}{e}$, где $d \mid 16$, $e \mid 3$. Подставим $x = -2$:

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   значит $(x+2)$ делит кубический многочлен нацело.

4. 4

   Делим и раскладываем частное. Деление $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$ на $(x+2)$ даёт $3x^2 + 2x - 8$, а этот трёхчлен раскладывается как $(3x - 4)(x + 2)$. Отсюда

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   и полное разложение выглядит так:

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

5. 5

   Выписываем корни. Приравнивая каждый множитель к нулю:

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{(двукратный корень)}, \qquad x = \frac{4}{3}$

6. 6

   Проверяем. Раскрытие $x(x+2)^2(3x-4)$ возвращает в точности коэффициенты $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$. Прямая подстановка: $f(0) = 0$, $f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$, $f(4/3) = 0$ с точностью до $10^{-14}$. Так как $x = -2$ — двукратный корень, график в этой точке касается оси, но не пересекает её.