Опишите и изобразите область на плоскости, заданную системой неравенств x² + y² ≤ 9 и y ≤ x + 1, указав точки пересечения границы круга и прямой.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим первое неравенство как замкнутый круг. Уравнение $x^{2}+y^{2}=9$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{9}=3$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), областью будет сама окружность вместе с её внутренней частью — то есть замкнутый круг. Окружность изображается сплошной линией, чтобы показать, что граница входит в область.

2. 2

   Рассмотрим второе неравенство как замкнутую полуплоскость. Граница $y=x+1$ — это прямая с угловым коэффициентом $1$, проходящая через точки $(0,1)$ и $(-1,0)$. Поскольку $y\leq x+1$, выбирается сторона ниже этой прямой; проверим начало координат: $0\leq 0+1$ — верно, значит нужная полуплоскость содержит $(0,0)$. Эту прямую также изображают сплошной линией.

3. 3

   Найдём точки пересечения прямой и окружности. Подставим $y=x+1$ в $x^{2}+y^{2}=9$:

   $x^{2}+(x+1)^{2}=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x+1=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x-8=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+x-4=0$

   По формуле корней квадратного уравнения получаем

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$

4. 4

   Переходим к координатам точек пересечения. Подставим найденные значения $x$ в $y=x+1$:

   $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\quad\text{и}\quad\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)$

   Приближённо это $(1{,}5616,\,2{,}5616)$ и $(-2{,}5616,\,-1{,}5616)$; подстановка в $x^{2}+y^{2}$ даёт ровно $9$, значит, обе точки действительно лежат на окружности. Так как дискриминант $17>0$, прямая — настоящая секущая, а не касательная.

5. 5

   Описываем итоговую область. Ответ — большая часть замкнутого круга: всё, что внутри или на окружности радиуса $3$, и одновременно на или ниже прямой $y=x+1$. Хорда, соединяющая найденные точки пересечения, отсекла сверху малый круговой сегмент — только он не входит в область. Обе граничные линии — дуга окружности и хорда — входят в область, так как оба неравенства нестрогие.