Решите уравнение x³ = 9x² + 22x.

Step-by-step solution

1. 1

   Приравняем всё к нулю, а не будем делить на $x$. Деление обеих частей на $x$ выглядит заманчиво, но незаметно уничтожит корень $x=0$. Перенесём все слагаемые влево:

   $x^3-9x^2-22x=0$

2. 2

   Вынесем общий множитель $x$. В каждом слагаемом есть хотя бы один множитель $x$:

   $x\left(x^2-9x-22\right)=0$

   Так корень $x=0$ сохраняется как полноценное решение, а не теряется.

3. 3

   Разложим квадратный трёхчлен. Два числа с произведением $-22$ и суммой $-9$ — это $-11$ и $+2$:

   $x^2-9x-22=(x-11)(x+2)\quad\Longrightarrow\quad x(x-11)(x+2)=0$

4. 4

   Применим условие равенства произведения нулю к каждому множителю.

   $x=0,\qquad x=11,\qquad x=-2$

5. 5

   Проверим все три корня в исходном уравнении. При $x=11$: $11^3=1331$ и $9(121)+22(11)=1089+242=1331$ $\checkmark$. При $x=-2$: $-8$ и $9(4)-44=36-44=-8$ $\checkmark$. При $x=0$: $0=0$ $\checkmark$. У кубического уравнения не может быть больше трёх корней, значит, список полон.