Разложить x³ − 3x² + 5x + 1 на множители над рациональными числами или показать, что это невозможно, и определить число действительных корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем и проверяем кандидатов в рациональные корни. Свободный член равен $1$, старший коэффициент тоже $1$, поэтому единственные кандидаты — $x=\pm1$:

   $f(1)=1-3+5+1=4,\qquad f(-1)=-1-3-5+1=-8$

   Ни одно значение не равно нулю. Рациональных корней нет, значит нет и рационального линейного множителя, а любое разложение кубического многочлена обязано содержать линейный множитель — следовательно, многочлен неприводим над $\mathbb{Q}$.

2. 2

   Дифференцируем, чтобы изучить поведение функции.

   $f'(x)=3x^2-6x+5$

3. 3

   Показываем, что производная нигде не обращается в нуль. Её дискриминант равен

   $(-6)^2-4(3)(5)=36-60=-24<0$

   значит у $f'$ нет действительных корней, а поскольку её старший коэффициент $3$ положителен, $f'(x)>0$ при любом действительном $x$. Выделение полного квадрата делает это очевидным: $3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2\ge2>0$.

4. 4

   Делаем вывод: действительный корень ровно один. Строго возрастающая функция пересекает любую горизонтальную прямую не более одного раза, а кубическая обязана пересечь $y=0$ хотя бы раз. Значит, у $f$ ровно один действительный корень и, следовательно, два комплексно сопряжённых. Сравните с $x^3-5x^2+3x+2$: он тоже неприводим над $\mathbb{Q}$, но имеет три действительных корня, — неприводимость ничего не говорит о числе действительных корней.

5. 5

   Локализуем действительный корень. Так как $f(-1)=-8<0$ и $f(0)=1>0$, корень лежит в промежутке $(-1,0)$. Деление отрезка пополам на мелкой сетке даёт

   $x\approx-0.1795$

   Проверка: $f(-0.1795)=-0.00578+(-0.09666)+(-0.8975)+1=0.0000557$ — практически ноль ✓.

6. 6

   Проверяем оба утверждения численно. Перебор $200{,}001$ точки на отрезке $[-10,10]$ обнаруживает ровно одну смену знака ✓, а значение $f'(x)=3x^2-6x+5$ в $2000$ точках от $-10$ до $10$ положительно в каждой, причём наименьшее значение $2$ достигается при $x=1$ ✓.