Разложите x² − 4x − y² − 6y − 5 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Группируем слагаемые с x и с y отдельно. Перемешанного члена $xy$ нет, что подсказывает возможность привести выражение к разности квадратов:

   $\left(x^{2}-4x\right)-\left(y^{2}+6y\right)-5$

   Важно: минус перед группой $y$ меняет знак и у $y^2$, и у $6y$.

2. 2

   Завершаем квадрат по x. $x^2-4x=(x-2)^2-4$.

3. 3

   Завершаем квадрат по y. $y^2+6y=(y+3)^2-9$, значит $-\left(y^{2}+6y\right)=-(y+3)^{2}+9$.

4. 4

   Собираем свободные слагаемые.

   $(x-2)^{2}-4-(y+3)^{2}+9-5=(x-2)^{2}-(y+3)^{2}$

   Три свободных числа $-4+9-5$ в сумме дают $0$, что подтверждает правильность группировки.

5. 5

   Применяем формулу разности квадратов. Пусть $A=x-2$, $B=y+3$:

   $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=\big[(x-2)-(y+3)\big]\big[(x-2)+(y+3)\big]=(x-y-5)(x+y+1)$

   $\boxed{(x-y-5)(x+y+1)}$

6. 6

   Проверяем раскрытием скобок. $(x-y-5)(x+y+1)=x^2+xy+x-xy-y^2-y-5x-5y-5=x^2-4x-y^2-6y-5$. ✓