Решите 20,2x³ – 80,8x² + 60,6 = 0. Дайте все три корня точно и в виде десятичных приближений.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от десятичных дробей и упростим уравнение. Умножим обе части на $10$, получим $202x^{3}-808x^{2}+606=0$. Все коэффициенты чётные, поэтому разделим на $2$:

   $101x^{3}-404x^{2}+303=0.$

   Обратите внимание, что свободного члена при $x$ нет — его коэффициент равен $0$, это важно при делении далее. Теперь работаем только с целыми числами, что позволяет искать рациональные корни без округлений.

2. 2

   Найдём рациональный корень. Все коэффициенты делятся на $101$, кроме того, они образуют характерный ряд: $101$, $-404=-4\cdot101$, $303=3\cdot101$. Проверим $x=1$:

   $101-404+303=0 \;✓,$

   значит, $x=1$ — корень, а $(x-1)$ делит кубический многочлен. Это стало очевидным после упрощения: проверка занимает одну строку устного счёта.

3. 3

   Выполним деление на $(x-1)$. Синтетическое деление по коэффициентам $101,\;-404,\;0,\;303$ при корне $1$ даёт $101,\;-303,\;-303$ и остаток $0$:

   $101x^{3}-404x^{2}+303=(x-1)\left(101x^{2}-303x-303\right).$

   Пропущенный коэффициент при $x$ обязательно учитывается как $0$ — иначе все последующие коэффициенты смещаются, и результат неверен.

4. 4

   Решим квадратное уравнение и упростим радикал. Для $101x^{2}-303x-303=0$ вычислим дискриминант:

   $\Delta=303^{2}+4(101)(303)=91809+122412=214221.$

   Этот корень можно упростить: $214221=101^{2}\times 21$, значит, $\sqrt{214221}=101\sqrt{21}$. Тогда

   $x=\frac{303\pm101\sqrt{21}}{202}=\frac{101\left(3\pm\sqrt{21}\right)}{202}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.$

   Общий множитель $101$ сокращается полностью — всё кубическое уравнение было $101$ умножить на нечто простое.

5. 5

   Выпишем десятичные значения и проверим. При $\sqrt{21}\approx4.58258$ получаем

   $x=1,\qquad x\approx 3.791288,\qquad x\approx -0.791288.$

   Подставляя каждое значение в $20.2x^{3}-80.8x^{2}+60.6$, получаем $0$ с точностью до $10^{-13}$ ✓. Проверка по теореме Виета: сумма корней $1+3=4=\tfrac{404}{101}$ ✓, произведение $1\cdot\frac{9-21}{4}=-3=-\tfrac{303}{101}$ ✓.