Решите уравнение (x + 8)(x + 3) = 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Не спешите пользоваться условием равенства произведения нулю. Из $(x+8)(x+3)=9$ не следует, что $x+8=9$ или $x+3=9$. Свойство «произведение равно нулю» работает только тогда, когда произведение равно нулю, поэтому уравнение сначала нужно привести к стандартному виду.

2. 2

   Раскрываем скобки и приводим подобные.

   $(x+8)(x+3)=x^2+3x+8x+24=x^2+11x+24$

   $x^2+11x+24=9\quad\Longrightarrow\quad x^2+11x+15=0$

3. 3

   Проверяем, раскладывается ли трёхчлен в целых числах. Нужны два целых числа с произведением $15$ и суммой $11$. У числа $15$ есть только пары делителей $1\cdot 15$ (сумма $16$) и $3\cdot 5$ (сумма $8$); ни одна не даёт $11$. В частности, соблазнительная пара $6$ и $5$ не подходит, ведь $6\cdot 5=30\neq 15$. Значит, разложения в целых числах нет.

4. 4

   Подтверждаем дискриминантом и применяем формулу корней.

   $\Delta=11^2-4(1)(15)=121-60=61$

   Число $61$ простое, а значит, не является полным квадратом, — отсюда следует иррациональность корней:

   $x=\frac{-11\pm\sqrt{61}}{2}$

5. 5

   Вычисляем и проверяем численно. Так как $\sqrt{61}\approx 7.8102$, получаем

   $x\approx-1.5949\qquad\text{или}\qquad x\approx-9.4051$

   Подставим $x\approx-1.5949$: $(6.4051)(1.4051)\approx 9.000$ $\checkmark$. Теорема Виета даёт вторую проверку: сумма корней равна $-11$, произведение равно $15$ — как и требуют коэффициенты.