Раскрыть (4√3·a + √3·a²)².

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем общий множитель из скобки до возведения в квадрат. У обоих слагаемых есть общий множитель $\sqrt3\,a$:

   $4\sqrt3\,a+\sqrt3\,a^{2}=\sqrt3\,a\left(4+a\right).$

   Это гораздо чище, чем применять формулу $(u+v)^2$ к двум слагаемым с радикалами.

2. 2

   Возведём в квадрат разложенную форму. Квадрат распределяется по произведению:

   $\left(\sqrt3\,a(a+4)\right)^{2}=\left(\sqrt3\right)^{2}a^{2}(a+4)^{2}=3a^{2}(a+4)^{2}.$

   Именно возведение в квадрат заставляет корень исчезнуть: $\left(\sqrt3\right)^2=3$.

3. 3

   Раскроем оставшийся квадрат.

   $(a+4)^{2}=a^{2}+8a+16.$

4. 4

   Умножим всё на 3a².

   $3a^{2}\left(a^{2}+8a+16\right)=3a^{4}+24a^{3}+48a^{2}.$

5. 5

   Перепроверим прямым раскрытием. По формуле $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ при $u=4\sqrt3 a$ и $v=\sqrt3 a^2$:

   $u^{2}=48a^{2},\qquad 2uv=2\cdot 4\sqrt3 a\cdot\sqrt3 a^{2}=24a^{3},\qquad v^{2}=3a^{4},$

   в сумме получается тот же $3a^4+24a^3+48a^2$. Обратите внимание: средний член тоже теряет радикал, потому что $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.