Дано 3x + y = 1. Найдите наибольшее значение m, при котором y/x + 1/y ≤ m выполняется всегда.

Step-by-step solution

1. 1

   Переход к одной переменной с помощью ограничения. Из $3x + y = 1$ выражается $y = 1 - 3x$, поэтому исходное выражение становится функцией только от $x$:

   $f(x) = \frac{1-3x}{x} + \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{x} - 3 + \frac{1}{1-3x}$

   Преобразование $\frac{1-3x}{x} = \frac1x - 3$ позволяет явно увидеть два отдельных полюса.

2. 2

   Запись области определения. Оба знаменателя не должны обращаться в ноль:

   $x \ne 0 \quad \text{и} \quad y = 1 - 3x \ne 0 \ \Longrightarrow \ x \ne \tfrac13$

   То есть область определения — $\mathbb{R} \setminus \left\{0, \tfrac13\right\}$, и именно точка $x = \tfrac13$ окажется проблемной.

3. 3

   Исследование поведения около полюса x = 1/3. При $x \to \tfrac13^-$ имеем $1 - 3x \to 0^+$, значит

   $\frac{1}{1-3x} \to +\infty, \qquad \text{а} \quad \frac1x - 3 \to 3 - 3 = 0$

   Первая слагаемая стремится к бесконечности, остальные остаются ограниченными, значит $f(x) \to +\infty$.

4. 4

   Проверка на конкретных значениях. Подставляя $x$ всё ближе к $\tfrac13$ слева:

   $x = 0.33 \Rightarrow f = 100.03, \qquad x = 0.333 \Rightarrow f = 1000.003, \qquad x = 0.33333 \Rightarrow f \approx 10^{5}$

   Любое наперёд заданное значение превышается, значит выражение не ограничено сверху. (Для $x \to 0^-$, где $\tfrac1x \to +\infty$, здесь $f \to -\infty$, но для отсутствия максимума достаточно одного направления роста.)

5. 5

   Вывод: наибольшего m не существует. Чтобы $\frac{y}{x} + \frac1y \le m$ выполнялось при всех допустимых $x, y$, требовалось бы $m \ge \sup f = +\infty$. Ни одно вещественное число этому не удовлетворяет, значит:

   $\sup_{3x+y=1} \left(\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\right) = +\infty, \qquad \text{наибольшего } m \text{ не существует}$

   Если бы в условии дополнительно требовалось $x > 0,\ y > 0$, полюс при $x = \tfrac13^-$ всё равно лежал бы в этой области, так что выражение и там не ограничено сверху, и вывод не меняется.