Упростите выражение (x + y)(x − y) + 4(y − 1) и разложите результат на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем произведение по формуле разности квадратов.

   $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

   Перемножение почленно дало бы то же самое, но формула позволяет пропустить два взаимно уничтожающихся перекрёстных слагаемых.

2. 2

   Раскрываем вторую скобку.

   $4(y-1) = 4y - 4$

3. 3

   Собираем упрощённое выражение.

   $x^2 - y^2 + 4y - 4$

   Подобных слагаемых здесь нет, так что это окончательный вид после раскрытия скобок.

4. 4

   Замечаем вторую разность квадратов. Сгруппируем три последних слагаемых и вынесем $-1$:

   $-y^2 + 4y - 4 = -\left(y^2 - 4y + 4\right) = -(y-2)^2$

   тогда всё выражение принимает вид $x^2 - (y-2)^2$ — снова разность двух квадратов.

5. 5

   Раскладываем на множители.

   $x^2 - (y-2)^2 = \left(x - (y-2)\right)\left(x + (y-2)\right) = (x - y + 2)(x + y - 2)$

6. 6

   Проверяем численно при (x, y) = (3, 5). Исходное выражение: $(8)(-2) + 4(4) = -16 + 16 = 0$. Раскрытая форма даёт $9 - 25 + 20 - 4 = 0$. Разложение на множители даёт $(3-5+2)(3+5-2) = 0 \times 6 = 0$. Все три записи согласуются, и нуль здесь не случаен: при $x = y - 2$ первый множитель обращается в нуль.