Решите неравенство 3/(x − 1) − 1 ≥ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу выписываем область допустимых значений. Знаменатель $x-1$ не может обращаться в нуль, поэтому $x \neq 1$. Это значение не войдёт в ответ, какие бы преобразования мы дальше ни делали.

2. 2

   Не умножаем крест-накрест. Чтобы умножить обе части на $x-1$, надо знать знак этого выражения, а $x-1$ отрицательно при $x<1$ и положительно при $x>1$. Безопасный путь — перенести всё в одну часть и исследовать одну-единственную дробь.

3. 3

   Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю. Прибавив $1$ к обеим частям, получаем $\dfrac{3}{x-1} \ge 3$, откуда $\frac{3}{x-1}-3 \ge 0 \Longrightarrow \frac{3-3(x-1)}{x-1} \ge 0 \Longrightarrow \frac{6-3x}{x-1} \ge 0.$

4. 4

   Выносим минус за скобку и один раз осознанно меняем знак неравенства. Так как $6-3x = -3(x-2)$, деление обеих частей на постоянный множитель $-3$ разворачивает знак: $\frac{x-2}{x-1} \le 0.$ Теперь слева стоит аккуратное отношение двух линейных множителей.

5. 5

   Строим таблицу знаков по критическим точкам 1 и 2. При $x=0$: $\tfrac{-2}{-1}=2>0$ — не подходит. При $x=1.5$: $\tfrac{-0.5}{0.5}=-1<0$ — подходит. При $x=3$: $\tfrac{1}{2}>0$ — не подходит. Значит, годится только средний промежуток.

6. 6

   Разбираемся с концами промежутка. При $x=2$ числитель обращается в нуль, а знак $\le 0$ нуль допускает, поэтому $x=2$ входит в ответ. При $x=1$ знаменатель обращается в нуль, и эта точка исключена областью определения. Итак, $1 < x \le 2, \qquad x \in (1,2].$ Проверка: при $x=2$ имеем $\tfrac{3}{1}-1=2$, что удовлетворяет условию $\ge 2$ как равенство.