Найдите x, если (x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1,5) = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем оба куба по формуле бинома. Применяя $(x+b)^3=x^3+3bx^2+3b^2x+b^3$:

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$

   Во втором разложении важны знаки: $3(-2)^2=12$ положительно, тогда как $3(-2)=-6$ и $(-2)^3=-8$ отрицательны.

2. 2

   Складываем полученные разложения.

   $(x+1)^3+(x-2)^3=2x^3-3x^2+15x-7$

3. 3

   Раскрываем вычитаемое произведение.

   $2x^2\left(x-1.5\right)=2x^3-3x^2$

   Заметим, что $1.5=\tfrac32$, поэтому $2x^2\cdot\tfrac32=3x^2$ — десятичная запись просто маскирует удобную дробь.

4. 4

   Вычитаем и наблюдаем понижение степени.

   $\left(2x^3-3x^2+15x-7\right)-\left(2x^3-3x^2\right)=15x-7$

   Сокращаются и кубические, и квадратичные слагаемые — в этом весь замысел задачи: коэффициент $1.5$ подобран именно так, чтобы уничтожить член с $x^2$.

5. 5

   Решаем и проверяем.

   $15x-7=3\;\Longrightarrow\;15x=10\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}$

   Подставим обратно: $\left(\tfrac53\right)^3+\left(-\tfrac43\right)^3-2\cdot\tfrac49\left(\tfrac23-\tfrac32\right)=\tfrac{125}{27}-\tfrac{64}{27}+\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{61}{27}+\tfrac{20}{27}=\tfrac{81}{27}=3\;\checkmark$