Вычислить log 1576, делённое на log 2.44.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим формулу перехода к новому основанию. Для любого допустимого основания $c$ выполняется:

   $\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$

   То есть частное двух логарифмов по одному и тому же основанию — это логарифм по новому основанию, а само основание $c$ в ответе не фигурирует. Поэтому не важно, берутся ли здесь десятичные или натуральные логарифмы.

2. 2

   Определим основание и аргумент. В числителе аргумент $1576$, в знаменателе — $2.44$, значит:

   $\frac{\log 1576}{\log 2.44}=\log_{2.44}1576$

   Иначе говоря, ищется такое $x$, что $2.44^x=1576$.

3. 3

   Вычислим оба логарифма в десятичном основании:

   $\log 1576\approx 3.1975562,\qquad \log 2.44\approx 0.3873898$

   Оба значения корректны (деление на ноль не возникает, так как $2.44\neq 1$).

4. 4

   Выполним деление:

   $\frac{3.1975562}{0.3873898}\approx 8.2541048$

   Семь знаков после запятой сохраняются, чтобы избежать округления слишком рано. Именно преждевременное округление логарифмов даёт ошибочное значение $8.2537$.

5. 5

   Проверим результат возведением в степень. $2.44^{8.2541}\approx 1575.99$, что практически равно $1576$ с учётом округления. Для сравнения, $2.44^{8.2537}\approx 1575.43$ — уже на $0.57$ меньше. Это доказывает, что $8.2541$ — точное значение до четырёх знаков после запятой. Ответ: $\log_{2.44}1576\approx 8.2541$.