Решить уравнение 2^x + x = 5 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся, что формулы в замкнутом виде здесь нет. Неизвестное стоит и в показателе, и отдельным линейным слагаемым. Логарифмы их не разделяют: взятие $\ln$ от $2^{x}+x$ ничего не упрощает, ведь логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Значит, честный путь — численный.

2. 2

   Покажем, что корень ровно один, и зажмём его. Пусть $f(x)=2^{x}+x-5$. И $2^{x}$, и $x$ строго возрастают, поэтому $f$ строго возрастает и пересекает ноль не более одного раза. Считаем:

   $f(1)=2+1-5=-2<0,\qquad f(2)=4+2-5=1>0$

   Смена знака у непрерывной функции гарантирует корень на $(1,2)$, а монотонность — что он единственный.

3. 3

   Сузим промежуток пробными подстановками.

   $f(1.5)=2^{1.5}+1.5-5\approx2.8284+1.5-5=-0.6716<0$

   $f(1.7)\approx3.2490+1.7-5=-0.0510<0,\qquad f(1.72)\approx3.2943+1.72-5=+0.0143>0$

   значит корень лежит между $1.70$ и $1.72$, причём уже вблизи $1.72$.

4. 4

   Доведём деление пополам до сходимости. Раз за разом делим промежуток $[1.7,1.72]$ пополам и оставляем ту половину, где меняется знак; процесс сходится к

   $x\approx1.7156207$

   Проверка: $2^{1.7156207}+1.7156207=5.0000000$ с точностью до $10^{-6}$ ✓.

5. 5

   Округляем аккуратно — третий знак после запятой существен. С точностью до трёх знаков корень равен $x\approx1.716$, а не $1.717$: подстановка $1.717$ даёт $2^{1.717}+1.717\approx5.00452$, то есть перелёт через $5$ примерно на $0.004$. Вблизи корня $f$ растёт со скоростью около $2.9$ на единицу, поэтому погрешность $0.001$ в $x$ сдвигает $f$ примерно на $0.003$ — это заметно, так что лишний знак стоит держать.