Даны -1 ≤ x + y ≤ 4 и 2 ≤ x - 6y ≤ 3. Найдите диапазон z = 6x - 8y.

Step-by-step solution

1. 1

   Не стоит пытаться ограничивать x и y по отдельности. Если оценивать каждую переменную отдельно и затем объединять оценки, диапазон всегда получится завышенным, так как оба ограничения связаны между собой. Корректный способ — выразить целевое выражение как линейную комбинацию двух данных выражений.

2. 2

   Составим линейную комбинацию. Подберём такие коэффициенты $\alpha,\beta$, чтобы

   $6x-8y=\alpha(x+y)+\beta(x-6y).$

   Приравнивая коэффициенты, получаем систему:

   $\alpha+\beta=6\ (\text{по }x),\qquad \alpha-6\beta=-8\ (\text{по }y).$

3. 3

   Решим систему для коэффициентов. Вычтем второе уравнение из первого:

   $7\beta=14\ \Longrightarrow\ \beta=2,\qquad \alpha=6-2=4.$

   Проверим: $4(x+y)+2(x-6y)=4x+4y+2x-12y=6x-8y$ — верно.

4. 4

   Домножим каждое исходное неравенство на свой коэффициент. Оба коэффициента положительные, поэтому направление неравенств сохраняется:

   $-1\le x+y\le 4\ \Longrightarrow\ -4\le 4(x+y)\le 16,$
   $2\le x-6y\le 3\ \Longrightarrow\ 4\le 2(x-6y)\le 6.$

   Если бы какой-то коэффициент оказался отрицательным, пришлось бы поменять знак неравенства перед сложением — это стандартная ловушка данного метода.

5. 5

   Сложим полученные оценки.

   $-4+4\le z\le 16+6\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 22.$

6. 6

   Проверим достижимость концов диапазона. Границы достигаются, когда оба ограничения принимают крайние значения. При $x+y=-1$ и $x-6y=2$ получаем $x=-\tfrac47$, $y=-\tfrac37$, и $z=6(-\tfrac47)-8(-\tfrac37)=-\tfrac{24}{7}+\tfrac{24}{7}=0$. При $x+y=4$ и $x-6y=3$ получаем $x=\tfrac{27}{7}$, $y=\tfrac17$, и $z=\tfrac{162}{7}-\tfrac{8}{7}=\tfrac{154}{7}=22$. Оба конца достигаются, значит диапазон точный: $[0,22]$.