Деревья высажены треугольником: 1 дерево в первом ряду, 2 во втором, 3 в третьем и так далее, пока не высажены все 3003 дерева. Сколько всего рядов?

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим арифметическую прогрессию. Количество деревьев в каждом ряду образует арифметическую прогрессию $1,2,3,\dots,n$ с $u_1=1$ и разностью $d=1$, поэтому общее число деревьев выражается треугольным числом: $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

2. 2

   Приравняем сумму к общему количеству деревьев. $\frac{n(n+1)}{2}=3003\quad\Longrightarrow\quad n^2+n-6006=0$

3. 3

   Решим квадратное уравнение. $n=\frac{-1+\sqrt{1+4\cdot 6006}}{2}=\frac{-1+\sqrt{24025}}{2}=\frac{-1+155}{2}=77$ Дискриминант $24025=155^2$ — полный квадрат, что указывает на точное решение задачи.

4. 4

   Отбросим отрицательный корень. Второй корень $n=-78$ не имеет смысла как количество рядов, поэтому $n=77$.

5. 5

   Проверим итоговое количество. $\frac{77\cdot 78}{2}=\frac{6006}{2}=3003$ дерева — все деревья использованы без остатка. Ответ — А.