Решить уравнение x³ − 3x² + 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переберём рациональных кандидатов. По теореме о рациональных корнях возможны значения $\pm1, \pm2, \pm4$. Проверяем: $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$, $f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$, $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$. Сразу подходят два кандидата, а это уже намекает на кратный множитель.

2. 2

   Разделим на (x − 2) по схеме Горнера. Выпишем коэффициенты, включая пропущенное линейное слагаемое: $1,\ -3,\ 0,\ 4$. Сносим $1$ и на каждом шаге умножаем на $2$; получаем строку $1,\ -1,\ -2$ с остатком $0$, поэтому

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)\left(x^2 - x - 2\right)$

   Подстановка нуля вместо пропущенного коэффициента обязательна — без неё все последующие коэффициенты сдвинутся.

3. 3

   Разложим квадратный трёхчлен. Два числа с произведением $-2$ и суммой $-1$ — это $-2$ и $1$:

   $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

4. 4

   Запишем полное разложение.

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$

   Множитель $(x-2)$ встретился дважды, что подтверждает сделанное ранее предположение.

5. 5

   Выпишем корни с их кратностями.

   $x = 2 \ \text{(двукратный корень)}, \qquad x = -1$

6. 6

   Проверим. Раскроем: $(x-2)^2(x+1) = \left(x^2 - 4x + 4\right)(x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$ — слагаемые $-4x$ и $+4x$ взаимно уничтожаются, именно поэтому в исходном многочлене нет линейного члена. Так как кратность корня $x = 2$ чётна, график касается оси в этой точке, не пересекая её, а при $x = -1$ он ось пересекает.