Решите уравнение |2x + 3| = 6x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу выписываем условие неотрицательности. Слева стоит модуль, а он никогда не бывает отрицательным. Значит, правая часть обязана удовлетворять условию

   $6x\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad x\ge0$

   Это не формальная приписка, а именно то, что делает один из двух случаев невозможным: забыв про него, вы получите лишний второй ответ.

2. 2

   Случай 1: подмодульное выражение неотрицательно, 2x + 3 ≥ 0. Тогда $|2x+3|=2x+3$ и

   $2x+3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad 3=4x\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac34$

3. 3

   Сверяем кандидата с обоими условиями. Подмодульное выражение: $2\left(\tfrac34\right)+3=\tfrac92\ge0$ ✓ — согласуется с предположением случая. Общее условие: $x=\tfrac34\ge0$ ✓. Значит, $x=\tfrac34$ — настоящий корень.

4. 4

   Случай 2: подмодульное выражение отрицательно, 2x + 3 < 0. Тогда $|2x+3|=-(2x+3)$ и

   $-2x-3=6x\qquad\Longrightarrow\qquad -3=8x\qquad\Longrightarrow\qquad x=-\frac38$

5. 5

   Отбрасываем второго кандидата — сразу по двум причинам. Он не удовлетворяет общему условию $x\ge0$, ведь $-\tfrac38<0$. Он не удовлетворяет и собственному условию случая: $2\left(-\tfrac38\right)+3=\tfrac94>0$, то есть выражение не отрицательно. Прямая подстановка подтверждает то же самое: $\left|2\left(-\tfrac38\right)+3\right|=\tfrac94$, тогда как $6\left(-\tfrac38\right)=-\tfrac94$, а $\tfrac94\neq-\tfrac94$. Корень посторонний.

6. 6

   Записываем и проверяем ответ. Единственное решение —

   $x=\frac34$

   Проверка: $\left|2\left(\tfrac34\right)+3\right|=\left|\tfrac92\right|=\tfrac92$ и $6\left(\tfrac34\right)=\tfrac92$ ✓. Перебор $6001$ точной рациональной точки на отрезке $[-3,3]$ показывает, что $\tfrac34$ — единственное решение ✓.