Раскройте и упростите (√2 + √3 + √5)².

Step-by-step solution

1. 1

   Используем формулу квадрата суммы трёх слагаемых. Для любых $a, b, c$:

   $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

   Здесь — три попарных произведения, а не одно. Частая ошибка — забывать о каком-либо из них при раскрытии квадрата суммы трёх слагаемых.

2. 2

   Возведём каждый корень в квадрат. Квадрат квадратного корня даёт подкоренное выражение:

   $\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt3\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=2+3+5=10$

3. 3

   Выпишем три попарных произведения. Каждое из них — это удвоенное произведение двух разных корней, причём $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$:

   $2\sqrt2\sqrt3=2\sqrt6,\qquad 2\sqrt3\sqrt5=2\sqrt{15},\qquad 2\sqrt5\sqrt2=2\sqrt{10}$

4. 4

   Складываем всё вместе. Ни $\sqrt6$, ни $\sqrt{10}$, ни $\sqrt{15}$ нельзя упростить или объединить между собой, так как $6$, $10$ и $15$ — разные и несводимые подкоренные выражения:

   $\boxed{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$

5. 5

   Проверим численно. $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5=1.41421+1.73205+2.23607=5.38233$, а $5.38233^{2}=28.9695$. Подставим в ответ: $10+2(2.44949)+2(3.16228)+2(3.87298)=10+4.89898+6.32456+7.74597=28.9695$ — совпадает.