Решить уравнение 2x² = 2x + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём уравнение к стандартному виду. Формула корней требует записи $ax^{2}+bx+c=0$, поэтому вычтем $2x+1$ из обеих частей:

   $2x^{2}-2x-1=0$

   отсюда $a=2$, $b=-2$, $c=-1$. Обратите внимание: $c$ отрицателен — при переносе $+1$ через знак равенства знак меняется.

2. 2

   Вычислим дискриминант, чтобы выбрать способ решения.

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   Следить нужно за двойным минусом: $-4(2)(-1)=+8$. Так как $\Delta=12>0$, действительных корней два и они различны, но $12$ — не точный квадрат, поэтому корни иррациональны и целочисленного разложения на множители не существует; формула корней здесь и есть нужный инструмент.

3. 3

   Подставим в формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

4. 4

   Упростим корень и сократим дробь. Так как $12=4\cdot3$, имеем $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$:

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   Общий множитель $2$ нужно сократить у обоих слагаемых числителя — сокращение только первой двойки является классической ошибкой.

5. 5

   Проверим по теореме Виета и подстановкой. Сумма корней должна равняться $-b/a=1$, а произведение — $c/a=-\tfrac12$:

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   Численно корни равны $\approx1.3660$ и $\approx-0.3660$, и подстановка любого из них в $2x^{2}-2x-1$ даёт невязку меньше $10^{-12}$ ✓.