Разложить квадратный трёхчлен 10x² − 3x − 4 на два двучлена.

Step-by-step solution

1. 1

   Выпишем произведение AC. Если старший коэффициент не равен $1$, подбор двучленов становится неудобным. Поэтому перемножим старший коэффициент на свободный член:

   $a\cdot c=10\cdot(-4)=-40$

   Теперь требуется найти два целых числа, произведение которых равно $-40$, а сумма — среднему коэффициенту $b=-3$.

2. 2

   Подберём подходящую пару чисел. Так как произведение отрицательное, числа должны иметь разные знаки, причём по модулю большее число должно быть отрицательным, чтобы сумма была отрицательной. Перебирая пары делителей числа $40$ — $(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$ — видим, что последняя пара подходит:

   $5\cdot(-8)=-40,\qquad 5+(-8)=-3$

3. 3

   Разобьём средний член с помощью найденной пары. Заменим $-3x$ на $5x-8x$ (порядок не важен, главное — дальнейшая группировка):

   $10x^2-3x-4=10x^2+5x-8x-4$

4. 4

   Сгруппируем по парам и вынесем общий множитель в каждой.

   $(10x^2+5x)+(-8x-4)=5x(2x+1)-4(2x+1)$

   Проверкой правильности разбиения служит совпадение двучлена $2x+1$ в обеих группах. Если двучлены не совпадают, значит, была выбрана неверная пара или ошибочно сгруппированы слагаемые.

5. 5

   Вынесем общий двучлен и проверим результат.

   $5x(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(5x-4)$

   Проверим раскрытием скобок: $(2x+1)(5x-4)=10x^2-8x+5x-4=10x^2-3x-4$, что совпадает с исходным выражением. Следовательно, корни: $x=-\tfrac12$ и $x=\tfrac45$.