f(x) — кубический многочлен, и (x + 1)f(x) при делении на x³ + 2 даёт остаток x + 2. Если f(0) = 4, найти f(2).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем общий вид деления с остатком. Условие «остаток $x+2$ при делении на $x^3+2$» означает, что существует многочлен $Q(x)$, для которого

   $(x+1)f(x)=(x^3+2)Q(x)+x+2$

   Это и есть вся исходная информация задачи — все дальнейшие рассуждения опираются на это равенство.

2. 2

   Определим степень $Q$. Так как $f$ — кубический многочлен, $(x+1)f(x)$ имеет степень $4$. Значит, $(x^3+2)Q(x)$ должен давать степень $4$, то есть $\deg Q=1$. Запишем

   $Q(x)=ax+b$

   Именно поэтому задача решаема: осталось только два неизвестных.

3. 3

   Используем множитель $x+1$ в левой части. Левая часть обращается в ноль при $x=-1$, значит, и правая часть тоже. Подставим $x=-1$ в $(x^3+2)(ax+b)+x+2$:

   $(-1+2)(-a+b)+1=0\;\Longrightarrow\;b-a+1=0\;\Longrightarrow\;b=a-1$

4. 4

   Используем $f(0)=4$. Подставляя $x=0$, получаем $(0+1)f(0)=4$ слева и $(0+2)(b)+0+2=2b+2$ справа, значит

   $2b+2=4\;\Longrightarrow\;b=1\;\Longrightarrow\;a=2$

   Следовательно, $Q(x)=2x+1$.

5. 5

   Подставим $x=2$. Теперь, когда $Q$ найден,

   $(2+1)f(2)=(2^3+2)(2\cdot 2+1)+2+2=10\cdot 5+4=54$

   Значит, $3f(2)=54$, откуда $f(2)=18$.

6. 6

   Проверим, явно восстановив $f$. Раскроем скобки: $(x+1)f(x)=2x^4+x^3+5x+4$. Разделим на $x+1$:

   $f(x)=2x^3-x^2+x+4$

   Действительно, $f(0)=4$ и $f(2)=16-4+2+4=18$, а $2x^4+x^3+5x+4-(x^3+2)(2x+1)=x+2$ — верно.