Разделите x³ − 4x + 5 на x² + 2. Укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба многочлена, дополнив пропущенные степени нулями. В делимом отсутствует член $x^2$, а в делителе — член $x$:

   $\text{делимое}=x^3+0x^2-4x+5,\qquad \text{делитель}=x^2+0x+2$

   Поскольку степень делителя — $2$, схема Горнера не подходит, поэтому используется деление столбиком.

2. 2

   Находим первый член частного по старшим коэффициентам.

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   Умножим делитель на $x$: $x\left(x^2+2\right)=x^3+2x$. Вычтем полученное из делимого:

   $\left(x^3+0x^2-4x+5\right)-\left(x^3+0x^2+2x\right)=-6x+5$

3. 3

   Проверим, можно ли продолжать деление. Остаток $-6x+5$ имеет степень $1$, а делитель — степень $2$. Так как $1<2$, дальнейшие члены частного не выделяются, деление заканчивается после одного шага:

   $\text{частное}=x,\qquad \text{остаток}=-6x+5$

   Ожидается одночленный результат: степени исходных многочленов отличаются на $1$, поэтому степень частного $3-2=1$.

4. 4

   Запишем оба стандартных вида ответа.

   $\frac{x^3-4x+5}{x^2+2}=x+\frac{-6x+5}{x^2+2}$

   $x^3-4x+5=\left(x^2+2\right)x+(-6x+5)$

   Вторая форма — это тождество для проверки, так как не содержит дробей.

5. 5

   Проверим результат и поясним смысл остатка. Раскрывая скобки, $\left(x^2+2\right)x=x^3+2x$, а $x^3+2x-6x+5=x^3-4x+5\;\checkmark$. Остаток отличен от нуля, значит $x^2+2$ не является множителем — что согласуется с тем, что корни $x^2+2$ равны $x=\pm i\sqrt2$, а подстановка $x^2=-2$ в делимое даёт $x\cdot(-2)-4x+5=-6x+5\ne 0$, что совпадает с остатком.