Опишите и постройте множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам x + y ≤ 6 и x ≥ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим два неравенства как одну систему. Точка принадлежит решению, только если она удовлетворяет обоим неравенствам, поэтому ответ — пересечение двух полуплоскостей, а не их объединение:

   $\begin{cases}x+y\le 6\\ x\ge 2\end{cases}$

2. 2

   Приведём первое неравенство к виду с выраженным y. Вычитая $x$ из обеих частей:

   $y\le 6-x$

   Граница $y=6-x$ — прямая с угловым коэффициентом $-1$, проходящая через $(0,6)$ и $(6,0)$; из-за знака $\le$ её рисуют сплошной. Заштриховываем всё, что лежит на ней или ниже.

3. 3

   Истолкуем второе неравенство. $x\ge 2$ задаёт вертикальную граничную прямую $x=2$, тоже сплошную, и заштриховывается всё, что лежит на ней или правее. Обратите внимание: $y$ здесь не участвует, поэтому ограничение одинаково на любой высоте.

4. 4

   Найдём угловую точку. Две границы пересекаются там, где $x=2$ и $y=6-x$, то есть в точке

   $(2,\,4)$

   Это единственная вершина области; она принадлежит решению, потому что обе границы включены.

5. 5

   Убедимся, что область неограниченна. Начиная от $(2,4)$ область бесконечно расширяется вниз и вправо: например, точка $(100,-1000)$ удовлетворяет $x\ge 2$ и $x+y=-900\le 6$. Значит, это бесконечный угол, а не треугольник — третьей границы, которая его замкнула бы, попросту нет.

6. 6

   Запишем ответ. Проверим точку $(3,0)$: $3\ge 2$ $\checkmark$ и $3+0=3\le 6$ $\checkmark$, значит она внутри. Множество решений имеет вид

   $\{(x,y): x\ge 2\ \text{и}\ y\le 6-x\}$