Упростите 8(x² − 2y²) − x(7x + y) + xy и разложите результат на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем первую скобку.

   $8\left(x^2-2y^2\right)=8x^2-16y^2$

2. 2

   Раскроем вторую скобку, не забывая про минус перед ней.

   $-x(7x+y)=-7x^2-xy$

   Оба слагаемых внутри умножаются на $-x$; часто здесь ошибочно меняют знаки местами, но должно получиться именно $-7x^2-xy$.

3. 3

   Соберём все слагаемые и посмотрим, что сокращается.

   $8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$

   Два слагаемых $xy$ противоположны по знаку — они взаимно уничтожаются. Именно это сокращение и позволяет получить разность квадратов.

4. 4

   Оставшиеся слагаемые приводим к стандартному виду.

   $8x^2-7x^2=x^2\;\Longrightarrow\; x^2-16y^2$

5. 5

   Заметим и применим формулу разности квадратов. Поскольку $16y^2=(4y)^2$,

   $x^2-16y^2=x^2-(4y)^2=(x-4y)(x+4y)$

   Проверим при $x=3$, $y=1$: исходное выражение $8(9-2)-3(21+1)+3=56-66+3=-7$, а разложение $(3-4)(3+4)=-7\;\checkmark$.