Вычислите определитель матрицы 3×3 со строками (9,2,2), (27,7,7) и (18,5,4).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала поищем короткий путь. У первых двух строк совпадают второй и третий элементы ($2,2$ и $7,7$), а это намёк, что вычитание столбца $3$ из столбца $2$ создаст нули. Но строк всего три, и прямое разложение по первой строке само по себе короткое, поэтому используем его, а структуру приберегаем для проверки.

2. 2

   Запишем разложение по строке с чередующимися знаками. По первой строке знаки идут $+,-,+$:

   $\det=9\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}$

3. 3

   Вычислим три минора 2×2.

   $\begin{vmatrix}7&7\\5&4\end{vmatrix}=28-35=-7,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&4\end{vmatrix}=108-126=-18,\quad \begin{vmatrix}27&7\\18&5\end{vmatrix}=135-126=9$

4. 4

   Соберём результат.

   $\det=9(-7)-2(-18)+2(9)=-63+36+18=-9$

   $\boxed{-9}$

5. 5

   Проверим с помощью преобразования столбцов. Заменив $C_2$ на $C_2-C_3$ (определитель при этом не меняется), получаем

   $\begin{vmatrix}9&0&2\\27&0&7\\18&1&4\end{vmatrix}$

   При разложении по новому второму столбцу уцелевает лишь элемент $1$ на позиции $(3,2)$ со знаком $(-1)^{3+2}=-1$:

   $\det=-1\begin{vmatrix}9&2\\27&7\end{vmatrix}=-(63-54)=-9$

   Оба метода согласуются.