Разложите x³ + x² − x − 1 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Группируем четыре слагаемых по парам. Многочлен третьей степени с четырьмя членами и без общего множителя — классический кандидат для группировки:

   $\left(x^3+x^2\right)+(-x-1)$

2. 2

   Выносим общий множитель в каждой группе, чтобы получить общий двучлен. В первой паре выносим $x^2$, во второй — $-1$:

   $x^2(x+1)-1(x+1)$

   Ключевой момент — вынести именно $-1$, а не $+1$: $-x-1=-1(x+1)$.

3. 3

   Выносим общий двучлен за скобку.

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   Не останавливаемся — раскладываем разность квадратов. $x^2-1=(x-1)(x+1)$, что приводит к повторяющемуся множителю:

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x-1)(x+1)=(x+1)^2(x-1)$

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок и подстановкой корней. $(x+1)^2(x-1)=(x^2+2x+1)(x-1)=x^3+x^2-x-1$ $\checkmark$. Корни: $x=-1$ (кратный) и $x=1$; подставляя $x=-1$ в исходное выражение, получаем $-1+1+1-1=0$ $\checkmark$.